Trigonometrie Beispiele

$\cos (25) \cos (15) - \sin (25) \sin (15)$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Der genau Wert von $\cos (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.1.1.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\cos (25) \cos (45 - 30) - \sin (25) \sin (15)$

Schritt 1.1.1.2

Separiere die Negation.

$\cos (25) \cos (45 - (30)) - \sin (25) \sin (15)$

Schritt 1.1.1.3

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$\cos (25) (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \sin (25) \sin (15)$

Schritt 1.1.1.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \sin (25) \sin (15)$

Schritt 1.1.1.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\cos (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) - \sin (25) \sin (15)$

Schritt 1.1.1.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) - \sin (25) \sin (15)$

Schritt 1.1.1.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\cos (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (25) \sin (15)$

Schritt 1.1.1.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.1.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.1.1.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\cos (25) (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (25) \sin (15)$

Schritt 1.1.1.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\cos (25) (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (25) \sin (15)$

Schritt 1.1.1.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\cos (25) (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (25) \sin (15)$

Schritt 1.1.1.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\cos (25) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (25) \sin (15)$

Schritt 1.1.1.8.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.1.1.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\cos (25) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) - \sin (25) \sin (15)$

Schritt 1.1.1.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\cos (25) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) - \sin (25) \sin (15)$

Schritt 1.1.1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (25) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \sin (25) \sin (15)$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $\cos (25)$ und $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) \sin (15)$

Schritt 1.1.3

Der genau Wert von $\sin (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) \sin (45 - 30)$

Schritt 1.1.3.2

Separiere die Negation.

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) \sin (45 - (30))$

Schritt 1.1.3.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Schritt 1.1.3.4

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Schritt 1.1.3.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

Schritt 1.1.3.6

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Schritt 1.1.3.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.1.3.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.1.3.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.1.3.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.1.3.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.1.3.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.1.3.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.1.3.8.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.1.3.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.1.3.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Schritt 1.1.3.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ und $\sin (25)$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sin (25)}{4}$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sin (25)}{4}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (25) \sqrt{6} + \cos (25) \sqrt{2} - (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sin (25)}{4}$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (25) \sqrt{6} + \cos (25) \sqrt{2} + (- \sqrt{6} - - \sqrt{2}) \sin (25)}{4}$

Schritt 2.3

Multipliziere $- - \sqrt{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\cos (25) \sqrt{6} + \cos (25) \sqrt{2} + (- \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}) \sin (25)}{4}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\cos (25) \sqrt{6} + \cos (25) \sqrt{2} + (- \sqrt{6} + \sqrt{2}) \sin (25)}{4}$

Schritt 2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (25) \sqrt{6} + \cos (25) \sqrt{2} - \sqrt{6} \sin (25) + \sqrt{2} \sin (25)}{4}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\cos (25) \sqrt{6} + \cos (25) \sqrt{2} - \sqrt{6} \sin (25) + \sqrt{2} \sin (25)}{4}$

Dezimalform:

$0.76604444 \dots$