Trigonometrie Beispiele

$\sec (- 330)$

Schritt 1

Schreibe $- 330$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\sec (\frac{- 660}{2})$

Schritt 2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (\frac{- 660}{2})$ an.

$\frac{1}{\cos (\frac{- 660}{2})}$

Schritt 3

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (- 660)}{2}}}$

Schritt 4

Change the $\pm$ to $+$ because secant is positive in the first quadrant.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (- 660)}{2}}}$

Schritt 5

Vereinfache $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (- 660)}{2}}}$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Add full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (60)}{2}}}$

Schritt 5.1.2

Der genau Wert von $\cos (60)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{1}{2}}{2}}}$

Schritt 5.1.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}{2}}}$

Schritt 5.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + 1}{2}}{2}}}$

Schritt 5.1.5

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{3}{2}}{2}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2 \cdot 2}}}$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}$

Schritt 5.2.3

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Schritt 5.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.6.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 5.6.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 5.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.6.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 5.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$1.15470053 \dots$