Trigonometrie Beispiele

$\sec (\frac{5 θ}{4}) = 2$

Schritt 1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $θ$ aus dem Sekans zu ziehen.

$\frac{5 θ}{4} = arcsec (2)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $arcsec (2)$ ist $\frac{π}{3}$ .

$\frac{5 θ}{4} = \frac{π}{3}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4} = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache $\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4}$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4} = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Schritt 4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} (5 θ) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Schritt 4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 θ$ heraus.

$\frac{1}{5} (5 (θ)) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Schritt 4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} (5 θ) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Schritt 4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $\frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{4}{5}$ mit $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{4 π}{5 \cdot 3}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$θ = \frac{4 π}{15}$

Schritt 5

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{5 θ}{4} = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 6

Löse nach $θ$ auf.

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Schritt 6.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4} = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Schritt 6.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache $\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4} = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Schritt 6.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} (5 θ) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Schritt 6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 θ$ heraus.

$\frac{1}{5} (5 (θ)) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Schritt 6.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} (5 θ) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Schritt 6.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $\frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{4}{5} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Schritt 6.2.2.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{4}{5} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 6.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 6.2.2.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 6.2.2.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.2.1.4.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 π$ heraus.

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{5 (π)}{3}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = 4 \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.2.1.4.2

Kombiniere $4$ und $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sec (\frac{5 θ}{4})$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{5}{4}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{5}{4} |}$

Schritt 7.3

$\frac{5}{4}$ ist ungefähr $1.25$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{5}{4}}$

Schritt 7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{4}{5}$

Schritt 7.5

Multipliziere $2 π \frac{4}{5}$ .

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Schritt 7.5.1

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $2$ .

$\frac{4 \cdot 2}{5} π$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8}{5} π$

Schritt 7.5.3

Kombiniere $\frac{8}{5}$ und $π$ .

$\frac{8 π}{5}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\sec (\frac{5 θ}{4})$ ist $\frac{8 π}{5}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{8 π}{5}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{4 π}{15} + \frac{8 π n}{5}, \frac{4 π}{3} + \frac{8 π n}{5}$ , für jede ganze Zahl $n$