Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{7 π}{12}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{7 π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Schreibe $\frac{7 π}{12}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im zweiten Quadranten positiv ist.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4.7

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4.8

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4.9

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.3

Multipliziere $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.3.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{7 π}{12})$ ist $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Schreibe $\frac{7 π}{12}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - \cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.3

Wechsele das $\pm$ zu $-$ , da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.4.1

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4.6

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4.7

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4.8

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.4.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} + 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.7

Multipliziere $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.7.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{(2 - \sqrt{3}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{(2 - \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

Schritt 2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2} + \sqrt{(2 - \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2} + \sqrt{(2 - \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

Dezimalform:

$0.86602540 \dots$