Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{2 π}{3}) \cos (\frac{π}{12}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{12}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{12}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Teile $\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.3.2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.3.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.3.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.3.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.3.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.3.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.3.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.3.7.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.3.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.3.7.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.3.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.3.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.4

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \cdot 4} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} \sqrt{2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.8

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{18} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.8.2

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.2.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.8.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.8.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.8.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.9

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.10

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.11

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.11.1

Teile $\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Schritt 1.11.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 1.11.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 1.11.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 1.11.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 1.11.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.11.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.11.7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.11.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.11.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.11.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.11.7.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.11.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.11.7.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.11.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.11.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Schritt 1.11.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 1.12

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.12.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.12.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}$

Schritt 2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - - \sqrt{2}}{8}$

Schritt 3.2

Multipliziere $- - \sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Addiere $3 \sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6}}{8}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $\sqrt{6}$ von $\sqrt{6}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + 0}{8}$

Schritt 4.3

Addiere $4 \sqrt{2}$ und $0$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$0.70710678 \dots$