Trigonometrie Beispiele

${(\sqrt{2})}^{4} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Schritt 1

Vereinfache durch Kürzen des Exponenten mit der Wurzel.

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Schritt 1.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{4}$ als $2^{2}$ um.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Schritt 1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$2^{\frac{4}{2}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Schritt 1.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Schritt 1.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Schritt 1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Schritt 1.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2^{\frac{2}{1}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Schritt 1.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2^{2} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Schritt 1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $4$ mit $120$ .

$4 (\cos (480) + i \sin (4 \cdot 120))$

Schritt 2.2

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$4 (\cos (120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Schritt 2.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$4 (- \cos (60) + i \sin (4 \cdot 120))$

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\cos (60)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} + i \sin (4 \cdot 120))$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $4$ mit $120$ .

$4 (- \frac{1}{2} + i \sin (480))$

Schritt 2.6

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$4 (- \frac{1}{2} + i \sin (120))$

Schritt 2.7

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$4 (- \frac{1}{2} + i \sin (60))$

Schritt 2.8

Der genau Wert von $\sin (60)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 2.9

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (- \frac{1}{2}) + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$4 (\frac{- 1}{2}) + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) \frac{- 1}{2} + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot - 1 + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 2 + 2 (2) \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 + 2 \cdot 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 + 2 (i \sqrt{3})$

$- 2 + 2 i \sqrt{3}$