Trigonometrie Beispiele

$\frac{\frac{4 y^{2} - 9}{2 y^{2} + 9 y - 18}}{\frac{2 y^{2} + y - 3}{y^{2} + 5 y - 6}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{4 y^{2} - 9}{2 y^{2} + 9 y - 18} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $4 y^{2}$ als ${(2 y)}^{2}$ um.

$\frac{{(2 y)}^{2} - 9}{2 y^{2} + 9 y - 18} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Schritt 2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{{(2 y)}^{2} - 3^{2}}{2 y^{2} + 9 y - 18} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 y$ und $b = 3$ .

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{2 y^{2} + 9 y - 18} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 18 = - 36$ und deren Summe gleich $b = 9$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 y$ heraus.

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{2 y^{2} + 9 (y) - 18} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $9$ um als $- 3$ plus $12$

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{2 y^{2} + (- 3 + 12) y - 18} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{2 y^{2} - 3 y + 12 y - 18} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{(2 y^{2} - 3 y) + 12 y - 18} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{y (2 y - 3) + 6 (2 y - 3)} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 y - 3$ .

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{(2 y - 3) (y + 6)} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y - 3$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{(2 y - 3) (y + 6)} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 y + 3}{y + 6} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Schritt 5

Faktorisiere $y^{2} + 5 y - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $5$ ist.

$- 1, 6$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 y + 3}{y + 6} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{2 y^{2} + y - 3}$

Schritt 6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{2 y + 3}{y + 6} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{2 y^{2} + 1 y - 3}$

Schritt 6.1.2

Schreibe $1$ um als $- 2$ plus $3$

$\frac{2 y + 3}{y + 6} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{2 y^{2} + (- 2 + 3) y - 3}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 y + 3}{y + 6} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{2 y^{2} - 2 y + 3 y - 3}$

Schritt 6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 y + 3}{y + 6} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{(2 y^{2} - 2 y) + 3 y - 3}$

Schritt 6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 y + 3}{y + 6} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{2 y (y - 1) + 3 (y - 1)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y - 1$ .

$\frac{2 y + 3}{y + 6} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{(y - 1) (2 y + 3)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y + 3$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2 y + 3$ aus $(y - 1) (2 y + 3)$ heraus.

$\frac{2 y + 3}{y + 6} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{(2 y + 3) (y - 1)}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y + 3}{y + 6} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{(2 y + 3) (y - 1)}$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + 6} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{y - 1}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 6$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $y + 6$ aus $(y - 1) (y + 6)$ heraus.

$\frac{1}{y + 6} \cdot \frac{(y + 6) (y - 1)}{y - 1}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y + 6} \cdot \frac{(y + 6) (y - 1)}{y - 1}$

Schritt 8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y - 1}{y - 1}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 1}{y - 1}$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um.

$1$