Trigonometrie Beispiele

$\frac{(- 9 \sqrt{3} - 9 i) \cdot (9 - 9 \sqrt{3} i)}{(9 + 9 \sqrt{3} i) \cdot (9 + 9 \sqrt{3} i)}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9 \sqrt{3} - 9 i$ und $9 + 9 \sqrt{3} i$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $9$ aus $(- 9 \sqrt{3} - 9 i) \cdot (9 - 9 \sqrt{3} i)$ heraus.

$\frac{9 ((- \sqrt{3} - i) \cdot (9 - 9 \sqrt{3} i))}{(9 + 9 \sqrt{3} i) \cdot (9 + 9 \sqrt{3} i)}$

Schritt 1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $9$ aus $(9 + 9 \sqrt{3} i) \cdot (9 + 9 \sqrt{3} i)$ heraus.

$\frac{9 ((- \sqrt{3} - i) \cdot (9 - 9 \sqrt{3} i))}{9 ((1 + \sqrt{3} i) \cdot (9 + 9 \sqrt{3} i))}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 ((- \sqrt{3} - i) \cdot (9 - 9 \sqrt{3} i))}{9 ((1 + \sqrt{3} i) \cdot (9 + 9 \sqrt{3} i))}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (9 - 9 \sqrt{3} i)}{(1 + \sqrt{3} i) \cdot (9 + 9 \sqrt{3} i)}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9 - 9 \sqrt{3} i$ und $9 + 9 \sqrt{3} i$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $9$ aus $(- \sqrt{3} - i) \cdot (9 - 9 \sqrt{3} i)$ heraus.

$\frac{9 ((- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i))}{(1 + \sqrt{3} i) \cdot (9 + 9 \sqrt{3} i)}$

Schritt 2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $(1 + \sqrt{3} i) \cdot (9 + 9 \sqrt{3} i)$ heraus.

$\frac{9 ((- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i))}{9 ((1 + \sqrt{3} i) \cdot (1 + \sqrt{3} i))}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 ((- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i))}{9 ((1 + \sqrt{3} i) \cdot (1 + \sqrt{3} i))}$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i)}{(1 + \sqrt{3} i) \cdot (1 + \sqrt{3} i)}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i)}{(1 + \sqrt{3} i) \cdot (1 + \sqrt{3} i)}$ mit $\frac{1 - \sqrt{3} i}{1 - \sqrt{3} i}$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i)}{(1 + \sqrt{3} i) \cdot (1 + \sqrt{3} i)} \cdot \frac{1 - \sqrt{3} i}{1 - \sqrt{3} i}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i)}{(1 + \sqrt{3} i) \cdot (1 + \sqrt{3} i)}$ mit $\frac{1 - \sqrt{3} i}{1 - \sqrt{3} i}$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{(1 + \sqrt{3} i) \cdot (1 + \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}$

Schritt 5

Stelle um.

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Schritt 5.1

Bewege $1 + \sqrt{3} i$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{(1 + \sqrt{3} i) ((1 + \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i))}$

Schritt 5.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{(1 + \sqrt{3} i) (1 - (\sqrt{3} i) + \sqrt{3} i - {\sqrt{3}}^{2} i^{2})}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{(1 + \sqrt{3} i) \cdot 4}$

Schritt 5.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $1 + \sqrt{3} i$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{4 \cdot (1 + \sqrt{3} i)}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{4 \cdot (1 + \sqrt{3} i)}$ mit $\frac{1 - \sqrt{3} i}{1 - \sqrt{3} i}$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{4 \cdot (1 + \sqrt{3} i)} \cdot \frac{1 - \sqrt{3} i}{1 - \sqrt{3} i}$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{4 \cdot (1 + \sqrt{3} i)}$ mit $\frac{1 - \sqrt{3} i}{1 - \sqrt{3} i}$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{4 \cdot (1 + \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}$

Schritt 8

Stelle um.

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Schritt 8.1

Bewege $1 + \sqrt{3} i$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{4 ((1 + \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i))}$

Schritt 8.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{4 (1 - (\sqrt{3} i) + \sqrt{3} i - {\sqrt{3}}^{2} i^{2})}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{4 \cdot 4}$

Schritt 9

Multipliziere $1 - \sqrt{3} i$ mit $1 - \sqrt{3} i$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1

Bewege $1 - \sqrt{3} i$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot ((1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)) (1 - \sqrt{3} i)}{4 \cdot 4}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $1 - \sqrt{3} i$ mit $1 - \sqrt{3} i$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot {(1 - \sqrt{3} i)}^{2} (1 - \sqrt{3} i)}{4 \cdot 4}$

Schritt 10

Multipliziere ${(1 - \sqrt{3} i)}^{2}$ mit $1 - \sqrt{3} i$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.1

Bewege $1 - \sqrt{3} i$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot ((1 - \sqrt{3} i) {(1 - \sqrt{3} i)}^{2})}{4 \cdot 4}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $1 - \sqrt{3} i$ mit ${(1 - \sqrt{3} i)}^{2}$ .

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Schritt 10.2.1

Potenziere $1 - \sqrt{3} i$ mit $1$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot ({(1 - \sqrt{3} i)}^{1} {(1 - \sqrt{3} i)}^{2})}{4 \cdot 4}$

Schritt 10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot {(1 - \sqrt{3} i)}^{1 + 2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 10.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot {(1 - \sqrt{3} i)}^{3}}{4 \cdot 4}$

Schritt 11

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{(- (\sqrt{3}) - i) {(1 - \sqrt{3} i)}^{3}}{4 \cdot 4}$

Schritt 12

Faktorisiere $- 1$ aus $- i$ heraus.

$\frac{(- (\sqrt{3}) - (i)) {(1 - \sqrt{3} i)}^{3}}{4 \cdot 4}$

Schritt 13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sqrt{3}) - (i)$ heraus.

$\frac{- (\sqrt{3} + i) {(1 - \sqrt{3} i)}^{3}}{4 \cdot 4}$

Schritt 14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1

Schreibe $- (\sqrt{3} + i)$ als $- 1 (\sqrt{3} + i)$ um.

$\frac{- 1 (\sqrt{3} + i) {(1 - \sqrt{3} i)}^{3}}{4 \cdot 4}$

Schritt 14.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(\sqrt{3} + i) {(1 - \sqrt{3} i)}^{3}}{4 \cdot 4}$

Schritt 14.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{(\sqrt{3} + i) {(1 - \sqrt{3} i)}^{3}}{16}$