Trigonometrie Beispiele

$\log ({(81)}^{y}) < \log ({(27)}^{y + 3})$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log (81^{y}) = \log (27^{y + 3})$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (\log (81^{y})) = \ln (\log (27^{y + 3}))$

Schritt 2.2

Zerlege $\log (81^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$\ln (y \log (81)) = \ln (\log (27^{y + 3}))$

Schritt 2.3

Schreibe $\ln (y \log (81))$ als $\ln (y) + \ln (\log (81))$ um.

$\ln (y) + \ln (\log (81)) = \ln (\log (27^{y + 3}))$

Schritt 2.4

Zerlege $\log (27^{y + 3})$ durch Herausziehen von $y + 3$ aus dem Logarithmus.

$\ln (y) + \ln (\log (81)) = \ln ((y + 3) \log (27))$

Schritt 2.5

Schreibe $\ln ((y + 3) \log (27))$ als $\ln (y + 3) + \ln (\log (27))$ um.

$\ln (y) + \ln (\log (81)) = \ln (y + 3) + \ln (\log (27))$

Schritt 2.6

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 2.6.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y \log (81)) = \ln (y + 3) + \ln (\log (27))$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y \log (81)) = \ln ((y + 3) \log (27))$

Schritt 2.6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (y \log (81)) = \ln (y \log (27) + 3 \log (27))$

Schritt 2.6.3

Vereinfache $3 \log (27)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (y \log (81)) = \ln (y \log (27) + \log (27^{3}))$

Schritt 2.6.4

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$y \log (81) = y \log (27) + \log (27^{3})$

Schritt 2.6.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.6.5.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.5.1.1

Potenziere $27$ mit $3$ .

$y \log (81) = y \log (27) + \log (19683)$

Schritt 2.6.5.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$y \log (81) - y \log (27) - \log (19683) = 0$

Schritt 2.6.5.3

Addiere $\log (19683)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y \log (81) - y \log (27) = \log (19683)$

Schritt 2.6.5.4

Faktorisiere $y$ aus $y \log (81) - y \log (27)$ heraus.

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Schritt 2.6.5.4.1

Faktorisiere $y$ aus $y \log (81)$ heraus.

$y (\log (81)) - y \log (27) = \log (19683)$

Schritt 2.6.5.4.2

Faktorisiere $y$ aus $- y \log (27)$ heraus.

$y (\log (81)) + y (- 1 \log (27)) = \log (19683)$

Schritt 2.6.5.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y (\log (81)) + y (- 1 \log (27))$ heraus.

$y (\log (81) - 1 \log (27)) = \log (19683)$

Schritt 2.6.5.5

Schreibe $- 1 \log (27)$ als $- \log (27)$ um.

$y (\log (81) - \log (27)) = \log (19683)$

Schritt 2.6.5.6

Teile jeden Ausdruck in $y (\log (81) - \log (27)) = \log (19683)$ durch $\log (81) - \log (27)$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y (\log (81) - \log (27)) = \log (19683)$ durch $\log (81) - \log (27)$ .

$\frac{y (\log (81) - \log (27))}{\log (81) - \log (27)} = \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)}$

Schritt 2.6.5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\log (81) - \log (27)$ .

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Schritt 2.6.5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (\log (81) - \log (27))}{\log (81) - \log (27)} = \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)}$

Schritt 2.6.5.6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)}$

Schritt 3

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$y < \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$y < \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)})$

Schritt 5