Trigonometrie Beispiele

$\cot (3 x) < 0$

Schritt 1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$3 x < arccot (0)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $arccot (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$3 x < \frac{π}{2}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $3 x < \frac{π}{2}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x < \frac{π}{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x < \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x < \frac{π}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x < \frac{π}{6}$

Schritt 4

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$3 x = π + \frac{π}{2}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 5.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 5.1.4

Addiere $π \cdot 2$ und $π$ .

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Schritt 5.1.4.1

Stelle $π$ und $2$ um.

$3 x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $2 \cdot π$ und $π$ .

$3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 \cdot π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot π$ heraus.

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\cot (3 x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 3 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{π}{3}$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\cot (3 x)$ ist $\frac{π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $\cot (3 x)$ .

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Schritt 9.1

Setze das Argument in $\cot (3 x)$ gleich $π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = π n$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = π n$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3}$

Schritt 9.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π n}{3}$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

${x | x \neq \frac{π n}{3}}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 < x < \frac{π}{6}$

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{π}{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{π}{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.26$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $0.26$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\cot (3 (0.26)) < 0$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $1.01085502$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\cot (3 (1)) < 0$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 7.01525255$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1.31$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $1.31$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\cot (3 (1.31)) < 0$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $0.99399967$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 < x < \frac{π}{6}$ Falsch

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ Wahr

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Falsch

$0 < x < \frac{π}{6}$ Falsch

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ Wahr

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{π}{6} + \frac{π n}{3} < x < \frac{π}{3} + \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13