Trigonometrie Beispiele

$\log (5 x) + \log (x - 2) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (5 x (x - 2)) = 2$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (5 x \cdot x + 5 x \cdot - 2) = 2$

Schritt 1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Bewege $x$ .

$\log (5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 2) = 2$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (5 x^{2} + 5 x \cdot - 2) = 2$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\log (5 x^{2} - 10 x) = 2$

Schritt 2

Schreibe $\log (5 x^{2} - 10 x) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{2} = 5 x^{2} - 10 x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $5 x^{2} - 10 x = 10^{2}$ um.

$5 x^{2} - 10 x = 10^{2}$

Schritt 3.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$5 x^{2} - 10 x = 100$

Schritt 3.3

Subtrahiere $100$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} - 10 x - 100 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} - 10 x - 100$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$5 (x^{2}) - 10 x - 100 = 0$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $5$ aus $- 10 x$ heraus.

$5 (x^{2}) + 5 (- 2 x) - 100 = 0$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $5$ aus $- 100$ heraus.

$5 x^{2} + 5 (- 2 x) + 5 \cdot - 20 = 0$

Schritt 3.4.4

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} + 5 (- 2 x)$ heraus.

$5 (x^{2} - 2 x) + 5 \cdot - 20 = 0$

Schritt 3.4.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (x^{2} - 2 x) + 5 \cdot - 20$ heraus.

$5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$ durch $5$ .

$\frac{5 (x^{2} - 2 x - 20)}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (x^{2} - 2 x - 20)}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 2 x - 20$ durch $1$ .

$x^{2} - 2 x - 20 = \frac{0}{5}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Dividiere $0$ durch $5$ .

$x^{2} - 2 x - 20 = 0$

Schritt 3.6

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.7

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - 20$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 20)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

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Schritt 3.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.3

Addiere $4$ und $80$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.4

Schreibe $84$ als $2^{2} \cdot 21$ um.

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Schritt 3.8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $84$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{21}$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + \sqrt{21}, 1 - \sqrt{21}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log (5 x) + \log (x - 2) = 2$ nicht erfüllen.

$x = 1 + \sqrt{21}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 1 + \sqrt{21}$

Dezimalform:

$x = 5.58257569 \dots$