Trigonometrie Beispiele

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (x)} < 1 + \sqrt{3}$

Schritt 1

Ersetze $\tan (x)$ durch $u$ .

$(u) + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1, 1$

Schritt 2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ mit $u$ .

$u \cdot u + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Schritt 3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} + \sqrt{3} < 1 u + \sqrt{3} u$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$u^{2} + \sqrt{3} < u + \sqrt{3} u$

Schritt 4

Löse die Ungleichung.

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Schritt 4.1

Stelle so um, dass $u$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$u + \sqrt{3} u > u^{2} + \sqrt{3}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $u^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} > \sqrt{3}$

Schritt 4.3

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} = \sqrt{3}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} - \sqrt{3} = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.5.1

Stelle die Terme um.

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Schritt 4.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Schritt 4.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (- u + 1) - \sqrt{3} (- u + 1) = 0$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u + 1$ .

$(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$

Schritt 4.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- u + 1 = 0$

$u - \sqrt{3} = 0$

Schritt 4.7

Setze $- u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.7.1

Setze $- u + 1$ gleich $0$ .

$- u + 1 = 0$

Schritt 4.7.2

Löse $- u + 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 4.7.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- u = - 1$

Schritt 4.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- u = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- u = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.7.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.7.2.2.2.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.7.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$u = 1$

Schritt 4.8

Setze $u - \sqrt{3}$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.8.1

Setze $u - \sqrt{3}$ gleich $0$ .

$u - \sqrt{3} = 0$

Schritt 4.8.2

Addiere $\sqrt{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = \sqrt{3}$

Schritt 4.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$ wahr machen.

$u = 1, \sqrt{3}$

Schritt 5

Ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 1, \sqrt{3}$

Schritt 6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Schritt 7

Löse in $\tan (x) = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 7.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 7.4

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 7.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 7.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 7.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 7.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 7.4.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 7.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Löse in $\tan (x) = \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Der genau Wert von $\arctan (\sqrt{3})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 8.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{3}$

Schritt 8.4

Vereinfache $π + \frac{π}{3}$ .

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Schritt 8.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 8.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 8.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Schritt 8.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Schritt 8.4.3.2

Addiere $3 π$ und $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 8.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 8.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 8.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 10.1

Führe $\frac{π}{4} + π n$ und $\frac{5 π}{4} + π n$ zu $\frac{π}{4} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10.2

Führe $\frac{π}{3} + π n$ und $\frac{4 π}{3} + π n$ zu $\frac{π}{3} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich von $\tan (x) + \sqrt{3} \cot (x) - 1 - \sqrt{3}$ .

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Schritt 11.1

Setze das Argument in $\tan (x)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11.2

Setze das Argument in $\cot (x)$ gleich $π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n, x \neq π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 12

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$

Schritt 13

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 13.1

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 13.1.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (1) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (1)} < 1 + \sqrt{3}$

Schritt 13.1.3

Die linke Seite $2.66954475$ ist kleiner als die rechte Seite $2.7320508$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 13.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 13.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (2) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (2)} < 1 + \sqrt{3}$

Schritt 13.2.3

Die linke Seite $- 2.97772599$ ist kleiner als die rechte Seite $2.7320508$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 13.3

Teste einen Wert im Intervall $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 13.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (4) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (4)} < 1 + \sqrt{3}$

Schritt 13.3.3

Die linke Seite $2.65377824$ ist kleiner als die rechte Seite $2.7320508$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 13.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Wahr

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ Wahr

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ Wahr

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Wahr

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ Wahr

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ Wahr

Schritt 14

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n$ or $\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ or $\frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ , for any integer $n$

Schritt 15

Vereine die Intervalle.

$\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n or \frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n or \frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 16