Trigonometrie Beispiele

$\tan (\arcsin (x - 1))$

Schritt 1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (x - 1)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)$ verläuft. Folglich ist $\tan (\arcsin (x - 1))$ $\frac{x - 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$ .

$\frac{x - 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x - 1}{\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x - 1$ .

$\frac{x - 1}{\sqrt{(1 + x - 1) (1 - (x - 1))}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{x - 1}{\sqrt{(x + 0) (1 - (x - 1))}}$

Schritt 2.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{x - 1}{\sqrt{x (1 - (x - 1))}}$

Schritt 2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 1}{\sqrt{x (1 - x - - 1)}}$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x - 1}{\sqrt{x (1 - x + 1)}}$

Schritt 2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x - 1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{x - 1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ mit $\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ .

$\frac{x - 1}{\sqrt{x (- x + 2)}} \cdot \frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

Schritt 4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x - 1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ mit $\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ .

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)} \sqrt{x (- x + 2)}}$

Schritt 4.2

Potenziere $\sqrt{x (- x + 2)}$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} \sqrt{x (- x + 2)}}$

Schritt 4.3

Potenziere $\sqrt{x (- x + 2)}$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} {\sqrt{x (- x + 2)}}^{1}}$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}}$

Schritt 4.6

Schreibe ${\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}$ als $x (- x + 2)$ um.

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Schritt 4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x (- x + 2)}$ als ${(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{({(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{1}}$

Schritt 4.6.5

Vereinfache.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (- x + 2)}$

Schritt 5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x) + 2)}$

Schritt 6

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x) - 1 (- 2))}$

Schritt 7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x - 2))}$

Schritt 8

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 8.1

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (- 1 (x - 2))}$

Schritt 8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (x - 2)}$

Schritt 8.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (x - 2)}$ um.

$- \frac{\sqrt{x (- x + 2)} (x - 1)}{x (x - 2)}$