Trigonometrie Beispiele

$\tan (\arcsin (\frac{5}{x}))$

Schritt 1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, \frac{5}{x})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (\frac{5}{x})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, \frac{5}{x})$ verläuft. Folglich ist $\tan (\arcsin (\frac{5}{x}))$ $\frac{\frac{5}{x}}{\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$ .

$\frac{\frac{5}{x}}{\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{5}{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Schritt 3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1

Kombinieren.

$\frac{5 \cdot 1}{x \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{5}{x \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{5}{x \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{5}{x}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{(1 + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{x \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}}$

Schritt 4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{x + 5}{x} (1 - \frac{5}{x})}}$

Schritt 4.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{x + 5}{x} (\frac{x}{x} - \frac{5}{x})}}$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{x - 5}{x}}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{x + 5}{x}$ mit $\frac{x - 5}{x}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x \cdot x}}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}}}$

Schritt 4.6

Schreibe $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ als ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ um.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(x + 5) (x - 5)$ heraus.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}}$

Schritt 4.6.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $x^{2}$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}}}$

Schritt 4.6.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}$ um.

$\frac{5}{x \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}}$

Schritt 4.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{5}{x (\frac{1}{x} \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$\frac{5}{x \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

Schritt 5

Kombiniere $x$ und $\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ .

$\frac{5}{\frac{x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{\frac{x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{1}}$

Schritt 6.2

Dividiere $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ durch $1$ .

$\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ mit $\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ .

$\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

Schritt 8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ mit $\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

Schritt 8.2

Potenziere $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ mit $1$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

Schritt 8.3

Potenziere $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ mit $1$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1} {\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1}}$

Schritt 8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}}$

Schritt 8.6

Schreibe ${\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}$ als $(x + 5) (x - 5)$ um.

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Schritt 8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ als ${((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{({((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{1}}$

Schritt 8.6.5

Vereinfache.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{(x + 5) (x - 5)}$