Trigonometrie Beispiele

$\cos (x) = - \sin (- x)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $- \sin (- x)$ .

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Schritt 1.1.1

Da $\sin (- x)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- x)$ als $- \sin (x)$ .

$\cos (x) = - - \sin (x)$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $- - \sin (x)$ .

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Schritt 1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos (x) = 1 \sin (x)$

Schritt 1.1.2.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) = \sin (x)$

Schritt 2

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$1 = \tan (x)$

Schritt 5

Schreibe die Gleichung als $\tan (x) = 1$ um.

$\tan (x) = 1$

Schritt 6

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 8

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 9

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 9.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 9.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 9.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 9.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 10

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 10.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 10.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 10.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$