Trigonometrie Beispiele

$\cos (a) < \sin (a)$

Schritt 1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (a)$ .

$\frac{\cos (a)}{\cos (a)} < \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (a)$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (a)}{\cos (a)} < \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Schritt 2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 < \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Schritt 3

Wandle von $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ nach $\tan (a)$ um.

$1 < \tan (a)$

Schritt 4

Stelle so um, dass $\tan (a)$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$\tan (a) > 1$

Schritt 5

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $a$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$a > \arctan (1)$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$a > \frac{π}{4}$

Schritt 7

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$a = π + \frac{π}{4}$

Schritt 8

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 8.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$a = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 8.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$a = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 8.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$a = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 8.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$a = \frac{5 π}{4}$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\tan (a)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 9.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\tan (a)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$a = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$a = \frac{π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{4}$

Schritt 13

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 13.1

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$a = 2$

Schritt 13.1.2

Ersetze $a$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\cos (2) < \sin (2)$

Schritt 13.1.3

Die linke Seite $- 0.41614683$ ist kleiner als die rechte Seite $0.90929742$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 13.2

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{4}$ Wahr

Schritt 14

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{π}{4} + π n < a < \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15