Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (2 x) = 3 \cos^{2} (2 x)$

Schritt 1

Subtrahiere $3 \cos^{2} (2 x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin^{2} (2 x) - 3 \cos^{2} (2 x) = 0$

Schritt 2

Ersetze die $\sin^{2} (2 x)$ durch $1 - \cos^{2} (2 x)$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$(1 - \cos^{2} (2 x)) - 3 \cos^{2} (2 x) = 0$

Schritt 3

Subtrahiere $3 \cos^{2} (2 x)$ von $- \cos^{2} (2 x)$ .

$1 - 4 \cos^{2} (2 x) = 0$

Schritt 4

Stelle das Polynom um.

$- 4 \cos^{2} (2 x) + 1 = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \cos^{2} (2 x) = - 1$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \cos^{2} (2 x) = - 1$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \cos^{2} (2 x) = - 1$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos^{2} (2 x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 \cos^{2} (2 x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $\cos^{2} (2 x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (2 x) = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cos^{2} (2 x) = \frac{1}{4}$

Schritt 7

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cos (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 8

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 8.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 8.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 8.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{2}$

Schritt 9

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (2 x) = \frac{1}{2}$

Schritt 9.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (2 x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Schritt 10

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (2 x) = \frac{1}{2}$

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 11

Löse in $\cos (2 x) = \frac{1}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$2 x = \frac{π}{3}$

Schritt 11.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Schritt 11.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Schritt 11.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Schritt 11.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 11.3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 11.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Schritt 11.3.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 11.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 11.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.5.1

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 11.5.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 11.5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 11.5.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 11.5.1.5

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$2 x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 11.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 π}{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 11.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 π}{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Schritt 11.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Schritt 11.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Schritt 11.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 11.5.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 11.5.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 2}$

Schritt 11.5.2.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 11.6

Ermittele die Periode von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 11.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 11.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 11.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 11.6.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 11.7

Die Periode der Funktion $\cos (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 12

Löse in $\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Schritt 12.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{1}{2})$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 12.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{2 π}{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 12.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{2 π}{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Schritt 12.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Schritt 12.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Schritt 12.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 12.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 12.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 12.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 12.4

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Schritt 12.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.5.1

Vereinfache.

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Schritt 12.5.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 12.5.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 12.5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 12.5.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Schritt 12.5.1.5

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$2 x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 12.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{4 π}{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 12.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{4 π}{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Schritt 12.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Schritt 12.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Schritt 12.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 12.5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.5.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 π$ heraus.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 12.5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 12.5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 12.6

Ermittele die Periode von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 12.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 12.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 12.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 12.6.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 12.7

Die Periode der Funktion $\cos (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 13

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 14

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 14.1

Führe $\frac{π}{6} + π n$ und $\frac{2 π}{3} + π n$ zu $\frac{π}{6} + \frac{π n}{2}$ zusammen.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 14.2

Führe $\frac{5 π}{6} + π n$ und $\frac{π}{3} + π n$ zu $\frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ zusammen.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$