Trigonometrie Beispiele

x 구하기 2cos(3x)^2+5cos(3x)-3<0
Schritt 1
Faktorisiere durch Gruppieren.
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Schritt 1.1
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
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Schritt 1.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.2
Schreibe um als plus
Schritt 1.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
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Schritt 1.2.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 1.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 1.3
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 2
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 3
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 3.1
Setze gleich .
Schritt 3.2
Löse nach auf.
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Schritt 3.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 3.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 3.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 3.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.2.3
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 3.2.4
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 3.2.4.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 3.2.5
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 3.2.5.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.2.5.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 3.2.5.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 3.2.5.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.2.5.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.2.5.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 3.2.5.3.1
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 3.2.5.3.2
Multipliziere .
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Schritt 3.2.5.3.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.5.3.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.6
Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 3.2.7
Löse nach auf.
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Schritt 3.2.7.1
Vereinfache.
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Schritt 3.2.7.1.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 3.2.7.1.2
Kombiniere und .
Schritt 3.2.7.1.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.2.7.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.7.1.5
Subtrahiere von .
Schritt 3.2.7.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 3.2.7.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.2.7.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 3.2.7.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 3.2.7.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.2.7.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.2.7.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 3.2.7.2.3.1
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 3.2.7.2.3.2
Multipliziere .
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Schritt 3.2.7.2.3.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.7.2.3.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.8
Ermittele die Periode von .
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Schritt 3.2.8.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 3.2.8.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 3.2.8.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 3.2.9
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 4
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 4.1
Setze gleich .
Schritt 4.2
Löse nach auf.
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Schritt 4.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 4.2.2
Der Wertebereich des Cosinus ist . Da nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.
Keine Lösung
Keine Lösung
Keine Lösung
Schritt 5
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
, für jede ganze Zahl
Schritt 6
Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.
Schritt 7
Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.
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Schritt 7.1
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
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Schritt 7.1.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 7.1.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 7.1.3
Die linke Seite ist kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.
True
True
Schritt 7.2
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
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Schritt 7.2.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 7.2.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 7.2.3
Die linke Seite ist nicht kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.
False
False
Schritt 7.3
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
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Schritt 7.3.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 7.3.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 7.3.3
Die linke Seite ist kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.
True
True
Schritt 7.4
Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.
Wahr
Falsch
Wahr
Wahr
Falsch
Wahr
Schritt 8
Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.
oder , für jede Ganzzahl
Schritt 9