Trigonometrie Beispiele

$2 \cos^{2} (2 x) - 1 = \sin (4 x)$

Schritt 1

Subtrahiere $\sin (4 x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos^{2} (2 x) - 1 - \sin (4 x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache $2 \cos^{2} (2 x) - 1 - \sin (4 x)$ .

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Schritt 2.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 (2 x)) - \sin (4 x) = 0$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\cos (4 x) - \sin (4 x) = 0$

Schritt 3

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (4 x)$ .

$\frac{\cos (4 x)}{\cos (4 x)} + \frac{- \sin (4 x)}{\cos (4 x)} = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (4 x)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (4 x)}{\cos (4 x)} + \frac{- \sin (4 x)}{\cos (4 x)} = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- \sin (4 x)}{\cos (4 x)} = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Schritt 5

Separiere Brüche.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Schritt 6

Wandle von $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ nach $\tan (4 x)$ um.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (4 x) = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Schritt 7

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$1 - \tan (4 x) = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Schritt 8

Separiere Brüche.

$1 - \tan (4 x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (4 x)}$

Schritt 9

Wandle von $\frac{1}{\cos (4 x)}$ nach $\sec (4 x)$ um.

$1 - \tan (4 x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (4 x)$

Schritt 10

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 - \tan (4 x) = 0 \sec (4 x)$

Schritt 11

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (4 x)$ .

$1 - \tan (4 x) = 0$

Schritt 12

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (4 x) = - 1$

Schritt 13

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (4 x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 13.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (4 x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (4 x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 13.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (4 x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 13.2.2

Dividiere $\tan (4 x)$ durch $1$ .

$\tan (4 x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 13.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\tan (4 x) = 1$

Schritt 14

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$4 x = \arctan (1)$

Schritt 15

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 15.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$4 x = \frac{π}{4}$

Schritt 16

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{4}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 16.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{4}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Schritt 16.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 16.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 16.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Schritt 16.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Schritt 16.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 16.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 16.3.2

Multipliziere $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 16.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 4}$

Schritt 16.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x = \frac{π}{16}$

Schritt 17

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$4 x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 18

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 18.1

Vereinfache.

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Schritt 18.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$4 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 18.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 18.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 18.1.4

Addiere $π \cdot 4$ und $π$ .

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Schritt 18.1.4.1

Stelle $π$ und $4$ um.

$4 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 18.1.4.2

Addiere $4 \cdot π$ und $π$ .

$4 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Schritt 18.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 18.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{4}$

Schritt 18.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 18.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 18.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{4}$

Schritt 18.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{4}$

Schritt 18.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 18.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 18.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 18.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 4}$

Schritt 18.2.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x = \frac{5 π}{16}$

Schritt 19

Ermittele die Periode von $\tan (4 x)$ .

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Schritt 19.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 19.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 4 |}$

Schritt 19.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{π}{4}$

Schritt 20

Die Periode der Funktion $\tan (4 x)$ ist $\frac{π}{4}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{4}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{4}, \frac{5 π}{16} + \frac{π n}{4}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 21

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{4}$ , für jede Ganzzahl $n$