Trigonometrie Beispiele

$2 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Schritt 1

Ersetze die $2 \sin^{2} (x)$ durch $2 (1 - \cos^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Schritt 3

Addiere $2$ und $1$ .

$- 2 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 3 = 0$

Schritt 4

Ersetze $\cos (x)$ durch $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 6 u + 3 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = - 2$ , $b = - 6$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 3)}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 2 \cdot 3}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 2 \cdot 3$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 \cdot 3}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 7.1.3

Addiere $36$ und $24$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $60$ als $2^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$u = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{- 4}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{- 4}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{15}}{- 2}$

Schritt 7.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{15}}{2}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

Schritt 9

Ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

Schritt 10

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

Schritt 11

Löse in $\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Der Wertebereich des Cosinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 12

Löse in $\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{3 - \sqrt{15}}{2})$

Schritt 12.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.1

Berechne $\arccos (- \frac{3 - \sqrt{15}}{2})$ .

$x = 1.11910076$

Schritt 12.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 1.11910076$

Schritt 12.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 1.11910076$

Schritt 12.4.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 1.11910076$ .

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Schritt 12.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.11910076$

Schritt 12.4.2.2

Subtrahiere $1.11910076$ von $6.2831853$ .

$x = 5.16408454$

Schritt 12.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 12.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 12.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 12.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 12.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.11910076 + 2 π n, 5.16408454 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Liste alle Lösungen auf.

$x = 1.11910076 + 2 π n, 5.16408454 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$