Trigonometrie Beispiele

$\sin (\arctan (\frac{x}{3}))$

Schritt 1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \frac{x}{3})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (\frac{x}{3})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \frac{x}{3})$ verläuft. Folglich ist $\sin (\arctan (\frac{x}{3}))$ $\frac{\frac{x}{3}}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}}$ .

$\frac{\frac{x}{3}}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}}$

Schritt 3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1

Kombinieren.

$\frac{x \cdot 1}{3 \sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x}{3 \sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{3}$ an.

$\frac{x}{3 \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{3^{2}}}}$

Schritt 4.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x}{3 \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}}}$

Schritt 4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{3 \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{x^{2}}{9}}}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{3 \sqrt{\frac{9 + x^{2}}{9}}}$

Schritt 4.5

Schreibe $\frac{9 + x^{2}}{9}$ als ${(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})$ um.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $9 + x^{2}$ heraus.

$\frac{x}{3 \sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{9}}}$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$\frac{x}{3 \sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}}}$

Schritt 4.5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$\frac{x}{3 \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})}}$

Schritt 4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{x}{3 (\frac{1}{3} \sqrt{9 + x^{2}})}$

Schritt 4.7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt{9 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{3 \frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3}}$

Schritt 5

Kombiniere $3$ und $\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3}$ .

$\frac{x}{\frac{3 \sqrt{9 + x^{2}}}{3}}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{3 \sqrt{9 + x^{2}}}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{\frac{3 \sqrt{9 + x^{2}}}{3}}$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{1}}$

Schritt 6.2

Dividiere $\sqrt{9 + x^{2}}$ durch $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{9 + x^{2}}}$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{9 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{\sqrt{9 + x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{9 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{\sqrt{9 + x^{2}}}$

Schritt 8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{9 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{\sqrt{9 + x^{2}}}$ .

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}}}$

Schritt 8.2

Potenziere $\sqrt{9 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{1} \sqrt{9 + x^{2}}}$

Schritt 8.3

Potenziere $\sqrt{9 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{9 + x^{2}}}^{1}}$

Schritt 8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{2}}$

Schritt 8.6

Schreibe ${\sqrt{9 + x^{2}}}^{2}$ als $9 + x^{2}$ um.

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Schritt 8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 + x^{2}}$ als ${(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{{({(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{{(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{{(9 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{{(9 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{{(9 + x^{2})}^{1}}$

Schritt 8.6.5

Vereinfache.

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{9 + x^{2}}$