Trigonometrie Beispiele

$\sin (\arccos (x^{2} - 64))$

Schritt 1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(x^{2} - 64, \sqrt{1^{2} - {(x^{2} - 64)}^{2}})$ , $(x^{2} - 64, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arccos (x^{2} - 64)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(x^{2} - 64, \sqrt{1^{2} - {(x^{2} - 64)}^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\sin (\arccos (x^{2} - 64))$ $\sqrt{1 - {(x^{2} - 64)}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(x^{2} - 64)}^{2}}$

Schritt 1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sqrt{1^{2} - {(x^{2} - 64)}^{2}}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x^{2} - 64$ .

$\sqrt{(1 + x^{2} - 64) (1 - (x^{2} - 64))}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $64$ von $1$ .

$\sqrt{(x^{2} - 63) (1 - (x^{2} - 64))}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{(x^{2} - 63) (1 - x^{2} - - 64)}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 64$ .

$\sqrt{(x^{2} - 63) (1 - x^{2} + 64)}$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $64$ .

$\sqrt{(x^{2} - 63) (- x^{2} + 65)}$