Trigonometrie Beispiele

$\cos (θ) - \tan (θ) \cos (θ) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1

Füge Klammern hinzu.

$\cos (θ) - (\tan (θ) \cos (θ)) = 0$

Schritt 1.1.2

Schreibe $- \tan (θ) \cos (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos (θ) - (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cos (θ)) = 0$

Schritt 1.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\cos (θ) - \sin (θ) = 0$

Schritt 2

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (θ)$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- \sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Schritt 4

Separiere Brüche.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Schritt 5

Wandle von $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ nach $\tan (θ)$ um.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (θ) = \frac{0}{\cos (θ)}$

Schritt 6

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$1 - \tan (θ) = \frac{0}{\cos (θ)}$

Schritt 7

Separiere Brüche.

$1 - \tan (θ) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Schritt 8

Wandle von $\frac{1}{\cos (θ)}$ nach $\sec (θ)$ um.

$1 - \tan (θ) = \frac{0}{1} \cdot \sec (θ)$

Schritt 9

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 - \tan (θ) = 0 \sec (θ)$

Schritt 10

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (θ)$ .

$1 - \tan (θ) = 0$

Schritt 11

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (θ) = - 1$

Schritt 12

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (θ) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 12.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (θ) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 12.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 12.2.2

Dividiere $\tan (θ)$ durch $1$ .

$\tan (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 12.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\tan (θ) = 1$

Schritt 13

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (1)$

Schritt 14

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Schritt 15

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Schritt 16

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 16.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 16.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 16.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 16.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 16.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 16.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Schritt 17

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

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Schritt 17.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 17.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 17.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 17.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 18

Die Periode der Funktion $\tan (θ)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 19

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = \frac{π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$