Trigonometrie Beispiele

$\cos (\arctan (\frac{x}{2}))$

Schritt 1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (\frac{x}{2})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \frac{x}{2})$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arctan (\frac{x}{2}))$ $\frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}}$

Schritt 2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}}$

Schritt 2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}}}$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{4 + x^{2}}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $4 + x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}}}$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}}$

Schritt 2.5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})}}$

Schritt 2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}}}$

Schritt 2.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}}$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{2}{\sqrt{4 + x^{2}}}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{4 + x^{2}}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{4 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$

Schritt 6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ .

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}} \sqrt{4 + x^{2}}}$

Schritt 6.2

Potenziere $\sqrt{4 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1} \sqrt{4 + x^{2}}}$

Schritt 6.3

Potenziere $\sqrt{4 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{4 + x^{2}}}^{1}}$

Schritt 6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{2}}$

Schritt 6.6

Schreibe ${\sqrt{4 + x^{2}}}^{2}$ als $4 + x^{2}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 + x^{2}}$ als ${(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{({(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{1}}$

Schritt 6.6.5

Vereinfache.

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{4 + x^{2}}$