Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 2 \tan (3 x + π)$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 2 \tan (3 x + π)$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $2 \tan (3 x + π) = 0$ um.

$2 \tan (3 x + π) = 0$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \tan (3 x + π) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \tan (3 x + π) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 \tan (3 x + π)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \tan (3 x + π)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $\tan (3 x + π)$ durch $1$ .

$\tan (3 x + π) = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\tan (3 x + π) = 0$

Schritt 1.2.3

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$3 x + π = \arctan (0)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$3 x + π = 0$

Schritt 1.2.5

Subtrahiere $π$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - π$

Schritt 1.2.6

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - π$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - π$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- π}{3}$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- π}{3}$

Schritt 1.2.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- π}{3}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.7

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$3 x + π = π + 0$

Schritt 1.2.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.8.1

Addiere $π$ und $0$ .

$3 x + π = π$

Schritt 1.2.8.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.8.2.1

Subtrahiere $π$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = π - π$

Schritt 1.2.8.2.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$3 x = 0$

Schritt 1.2.8.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.8.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.8.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.8.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.8.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.8.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.8.3.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.9

Ermittele die Periode von $\tan (3 x + π)$ .

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Schritt 1.2.9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 1.2.9.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 3 |}$

Schritt 1.2.9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{π}{3}$

Schritt 1.2.10

Addiere $\frac{π}{3}$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 1.2.10.1

Addiere $\frac{π}{3}$ zu $- \frac{π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.10.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π - π}{3}$

Schritt 1.2.10.3

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$\frac{0}{3}$

Schritt 1.2.10.4

Dividiere $0$ durch $3$ .

$0$

Schritt 1.2.10.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 0$

Schritt 1.2.11

Die Periode der Funktion $\tan (3 x + π)$ ist $\frac{π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π n}{3}, \frac{π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.12

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{π n}{3}, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 2 \tan (3 (0) + π)$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 \tan (3 (0) + π)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $2 \tan (3 (0) + π)$ .

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$y = 2 \tan (0 + π)$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $0$ und $π$ .

$y = 2 \tan (π)$

Schritt 2.2.2.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$y = 2 (- \tan (0))$

Schritt 2.2.2.4

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$y = 2 (- 0)$

Schritt 2.2.2.5

Multipliziere $2 (- 0)$ .

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Schritt 2.2.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{π n}{3}, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4