Trigonometrie Beispiele

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{5}}{7}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Sinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sin (θ) = \frac{gegenüber}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = \sqrt{{(7)}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

Ankathete $= \sqrt{49 - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Ankathete $= \sqrt{49 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Ankathete $= \sqrt{49 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Ankathete $= \sqrt{49 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Ankathete $= \sqrt{49 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

Ankathete $= \sqrt{49 - 5}$

Schritt 4.2.5

Berechne den Exponenten.

Ankathete $= \sqrt{49 - 1 \cdot 5}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

Ankathete $= \sqrt{49 - 5}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $5$ von $49$ .

Ankathete $= \sqrt{44}$

Schritt 4.5

Schreibe $44$ als $2^{2} \cdot 11$ um.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $4$ aus $44$ heraus.

Ankathete $= \sqrt{4 (11)}$

Schritt 4.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

Ankathete $= \sqrt{2^{2} \cdot 11}$

Schritt 4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

Ankathete $= 2 \sqrt{11}$

Schritt 5

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{11}}{7}$

Schritt 6

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 6.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{11}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von $\tan (θ)$ .

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{11}}$ mit $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Schritt 6.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{11}}$ mit $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \sqrt{11} \sqrt{11}}$

Schritt 6.3.2.2

Bewege $\sqrt{11}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Schritt 6.3.2.3

Potenziere $\sqrt{11}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Schritt 6.3.2.4

Potenziere $\sqrt{11}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Schritt 6.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 {\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 {\sqrt{11}}^{2}}$

Schritt 6.3.2.7

Schreibe ${\sqrt{11}}^{2}$ als $11$ um.

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Schritt 6.3.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{11}$ als $11^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11}$

Schritt 6.3.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.3.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5 \cdot 11}}{2 \cdot 11}$

Schritt 6.3.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $11$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{55}}{2 \cdot 11}$

Schritt 6.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $11$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{55}}{22}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\cot (θ)$ .

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 7.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 7.3.2.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 7.3.2.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 7.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 7.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 7.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 7.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.3.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{5 \cdot 11}}{5}$

Schritt 7.3.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $11$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{55}}{5}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{7}{2 \sqrt{11}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\sec (θ)$ .

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $\frac{7}{2 \sqrt{11}}$ mit $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\sec (θ) = \frac{7}{2 \sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Schritt 8.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7}{2 \sqrt{11}}$ mit $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \sqrt{11} \sqrt{11}}$

Schritt 8.3.2.2

Bewege $\sqrt{11}$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Schritt 8.3.2.3

Potenziere $\sqrt{11}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Schritt 8.3.2.4

Potenziere $\sqrt{11}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Schritt 8.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 {\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 {\sqrt{11}}^{2}}$

Schritt 8.3.2.7

Schreibe ${\sqrt{11}}^{2}$ als $11$ um.

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Schritt 8.3.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{11}$ als $11^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11}$

Schritt 8.3.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11}$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $11$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{22}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{7}{\sqrt{5}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\csc (θ)$ .

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $\frac{7}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = \frac{7}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 9.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.2.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.2.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 9.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{5}}{7}$

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{11}}{7}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{55}}{22}$

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{55}}{5}$

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{22}$

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5}$