Trigonometrie Beispiele

$\sec (x) = \frac{\sqrt{13}}{3}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Sekans, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sec (x) = \frac{Hypotenuse}{Ankathete}$

Schritt 2

Berechne die Gegenkathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Ankathete und die Hypotenuse bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{(\sqrt{13})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Schreibe ${\sqrt{13}}^{2}$ als $13$ um.

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{13}$ als $13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Gegenkathete $= \sqrt{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Gegenkathete $= \sqrt{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Gegenkathete $= \sqrt{13^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Gegenkathete $= \sqrt{13^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

Gegenkathete $= \sqrt{13 - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.1.5

Berechne den Exponenten.

Gegenkathete $= \sqrt{13 - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

Gegenkathete $= \sqrt{13 - 1 \cdot 9}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

Gegenkathete $= \sqrt{13 - 9}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $9$ von $13$ .

Gegenkathete $= \sqrt{4}$

Schritt 4.5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

Gegenkathete $= \sqrt{2^{2}}$

Schritt 4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

Gegenkathete $= 2$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (x)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (x) = \frac{2}{\sqrt{13}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Wert von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (x) = \frac{2}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Schritt 5.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (x) = \frac{2 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 5.3.2.2

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \frac{2 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 5.3.2.3

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \frac{2 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 5.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) = \frac{2 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) = \frac{2 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Schritt 5.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{13}}^{2}$ als $13$ um.

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Schritt 5.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{13}$ als $13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x) = \frac{2 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x) = \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$

Schritt 5.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x) = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$

Schritt 6

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\cos (x)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (x) = \frac{3}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\cos (x) = \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 6.3.2.2

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 6.3.2.3

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 6.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{13}}^{2}$ als $13$ um.

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Schritt 6.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{13}$ als $13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$

Schritt 6.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$

Schritt 7

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 7.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (x)$ zu ermitteln.

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (x) = \frac{2}{3}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (x)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (x) = \frac{3}{2}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (x)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (x) = \frac{\sqrt{13}}{2}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (x) = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$

$\tan (x) = \frac{2}{3}$

$\cot (x) = \frac{3}{2}$

$\sec (x) = \frac{\sqrt{13}}{3}$

$\csc (x) = \frac{\sqrt{13}}{2}$