Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Sinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sin (x) = \frac{gegenüber}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = \sqrt{{(10)}^{2} - {(3 \sqrt{10})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

Ankathete $= \sqrt{100 - {(3 \sqrt{10})}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{10}$ an.

Ankathete $= \sqrt{100 - (3^{2} {\sqrt{10}}^{2})}$

Schritt 4.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

Ankathete $= \sqrt{100 - (9 {\sqrt{10}}^{2})}$

Schritt 4.4

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 4.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Ankathete $= \sqrt{100 - (9 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Schritt 4.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Ankathete $= \sqrt{100 - (9 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Schritt 4.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Ankathete $= \sqrt{100 - (9 \cdot 10^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 4.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Ankathete $= \sqrt{100 - (9 \cdot 10^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 4.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

Ankathete $= \sqrt{100 - 1 \cdot 9 \cdot 10}$

Schritt 4.4.5

Berechne den Exponenten.

Ankathete $= \sqrt{100 - (9 \cdot 10)}$

Schritt 4.5

Multipliziere $- (9 \cdot 10)$ .

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

Ankathete $= \sqrt{100 - 1 \cdot 90}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $90$ .

Ankathete $= \sqrt{100 - 90}$

Schritt 4.6

Subtrahiere $90$ von $100$ .

Ankathete $= \sqrt{10}$

Schritt 5

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\cos (x)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Schritt 6

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 6.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (x)$ zu ermitteln.

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (x) = \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{10}$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Schritt 6.3.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\tan (x) = 3$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cot (x)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{10}}{3 \sqrt{10}}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{10}$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{10}}{3 \sqrt{10}}$

Schritt 7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x) = \frac{1}{3}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\sec (x)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (x) = \frac{10}{\sqrt{10}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\sec (x)$ .

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $\frac{10}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sec (x) = \frac{10}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Schritt 8.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{10}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sec (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 8.3.2.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\sec (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 8.3.2.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\sec (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 8.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 8.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 8.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{10}$

Schritt 8.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{10}$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 8.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{10}$

Schritt 8.3.3.2

Dividiere $\sqrt{10}$ durch $1$ .

$\sec (x) = \sqrt{10}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (x)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (x) = \frac{10}{3 \sqrt{10}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\csc (x)$ .

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $\frac{10}{3 \sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\csc (x) = \frac{10}{3 \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Schritt 9.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{10}{3 \sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\csc (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{3 \sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 9.3.2.2

Bewege $\sqrt{10}$ .

$\csc (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{3 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Schritt 9.3.2.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{3 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Schritt 9.3.2.4

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{3 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Schritt 9.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{3 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{3 {\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 9.3.2.7

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 9.3.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{3 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{3 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{3 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{3 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{3 \cdot 10}$

Schritt 9.3.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{3 \cdot 10}$

Schritt 9.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 9.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (x) = \frac{10 \sqrt{10}}{3 \cdot 10}$

Schritt 9.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (x) = \frac{\sqrt{10}}{3}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

$\cos (x) = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\tan (x) = 3$

$\cot (x) = \frac{1}{3}$

$\sec (x) = \sqrt{10}$

$\csc (x) = \frac{\sqrt{10}}{3}$