Trigonometrie Beispiele

$\cot (x) = - \sqrt{35}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Kotangens, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\cot (x) = \frac{Ankathete}{gegenüber}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Gegenkathete und die Ankathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Hypotenuse = \sqrt{{gegenüber}^{2} + {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Hypotenuse = \sqrt{{(1)}^{2} + {(- \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

Hypothenuse $= \sqrt{1 + {(- \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{35}$ an.

Hypothenuse $= \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} {\sqrt{35}}^{2}}$

Schritt 4.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{1 + 1 {\sqrt{35}}^{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere ${\sqrt{35}}^{2}$ mit $1$ .

Hypothenuse $= \sqrt{1 + {\sqrt{35}}^{2}}$

Schritt 4.5

Schreibe ${\sqrt{35}}^{2}$ als $35$ um.

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Schritt 4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{35}$ als $35^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Hypothenuse $= \sqrt{1 + {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Hypothenuse $= \sqrt{1 + 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{1 + 35^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Hypothenuse $= \sqrt{1 + 35^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

Hypothenuse $= \sqrt{1 + 35}$

Schritt 4.5.5

Berechne den Exponenten.

Hypothenuse $= \sqrt{1 + 35}$

Schritt 4.6

Addiere $1$ und $35$ .

Hypothenuse $= \sqrt{36}$

Schritt 4.7

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

Hypothenuse $= \sqrt{6^{2}}$

Schritt 4.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

Hypothenuse $= 6$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (x)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (x) = \frac{1}{6}$

Schritt 6

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\cos (x)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{35}}{6}$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{35}}{6}$

Schritt 7

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 7.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (x)$ zu ermitteln.

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (x) = \frac{1}{- \sqrt{35}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\tan (x)$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 7.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\tan (x) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{35}}$

Schritt 7.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (x) = - \frac{1}{\sqrt{35}}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{35}}$ mit $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$\tan (x) = - (\frac{1}{\sqrt{35}} \cdot \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}})$

Schritt 7.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{35}}$ mit $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}}$

Schritt 7.3.3.2

Potenziere $\sqrt{35}$ mit $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}}$

Schritt 7.3.3.3

Potenziere $\sqrt{35}$ mit $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}}$

Schritt 7.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{35}}^{2}$ als $35$ um.

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Schritt 7.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{35}$ als $35^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{35}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{35}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{35}}{35}$

Schritt 7.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{35}}{35}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\sec (x)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (x) = \frac{6}{- \sqrt{35}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\sec (x)$ .

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Schritt 8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (x) = - \frac{6}{\sqrt{35}}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{35}}$ mit $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$\sec (x) = - (\frac{6}{\sqrt{35}} \cdot \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}})$

Schritt 8.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{35}}$ mit $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$\sec (x) = - \frac{6 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}}$

Schritt 8.3.3.2

Potenziere $\sqrt{35}$ mit $1$ .

$\sec (x) = - \frac{6 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}}$

Schritt 8.3.3.3

Potenziere $\sqrt{35}$ mit $1$ .

$\sec (x) = - \frac{6 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}}$

Schritt 8.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (x) = - \frac{6 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (x) = - \frac{6 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{2}}$

Schritt 8.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{35}}^{2}$ als $35$ um.

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Schritt 8.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{35}$ als $35^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (x) = - \frac{6 \sqrt{35}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = - \frac{6 \sqrt{35}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (x) = - \frac{6 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (x) = - \frac{6 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (x) = - \frac{6 \sqrt{35}}{35}$

Schritt 8.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (x) = - \frac{6 \sqrt{35}}{35}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (x)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (x) = \frac{6}{1}$

Schritt 9.3

Dividiere $6$ durch $1$ .

$\csc (x) = 6$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (x) = \frac{1}{6}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{35}}{6}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{35}}{35}$

$\cot (x) = - \sqrt{35}$

$\sec (x) = - \frac{6 \sqrt{35}}{35}$

$\csc (x) = 6$