Trigonometrie Beispiele

$y = \sin (3 x)$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \sin (3 x)$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $\sin (3 x) = 0$ um.

$\sin (3 x) = 0$

Schritt 1.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$3 x = \arcsin (0)$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$3 x = 0$

Schritt 1.2.4

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$3 x = π - 0$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$3 x = π + 0$

Schritt 1.2.6.1.2

Addiere $π$ und $0$ .

$3 x = π$

Schritt 1.2.6.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = π$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = π$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (3 x)$ .

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Schritt 1.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.7.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 1.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 1.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (3 x)$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{π n}{3}, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \sin (3 (0))$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \sin (3 (0))$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $\sin (3 (0))$ .

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$y = \sin (0)$

Schritt 2.2.2.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{π n}{3}, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4