Trigonometrie Beispiele

$\sin (π x + (\frac{1}{6} \cdot π)) = 1$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$π x + \frac{1}{6} \cdot π = \arcsin (1)$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $π$ .

$π x + \frac{π}{6} = \arcsin (1)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$π x + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Subtrahiere $\frac{π}{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$π x = \frac{π}{2} - \frac{π}{6}$

Schritt 4.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$π x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Schritt 4.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$π x = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{6}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$π x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π x = \frac{π \cdot 3 - π}{6}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$π x = \frac{3 \cdot π - π}{6}$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$π x = \frac{2 π}{6}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$π x = \frac{2 (π)}{6}$

Schritt 4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$π x = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π x = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π x = \frac{π}{3}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{π}{3}$ durch $π$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{π}{3}$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 5.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$π x + \frac{π}{6} = π - \frac{π}{2}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$π x + \frac{π}{6} = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.1.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$π x + \frac{π}{6} = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π x + \frac{π}{6} = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 7.1.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$π x + \frac{π}{6} = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 7.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$π x + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Subtrahiere $\frac{π}{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$π x = \frac{π}{2} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.2.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$π x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$π x = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$π x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π x = \frac{π \cdot 3 - π}{6}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.5.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$π x = \frac{3 \cdot π - π}{6}$

Schritt 7.2.5.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$π x = \frac{2 π}{6}$

Schritt 7.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$π x = \frac{2 (π)}{6}$

Schritt 7.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$π x = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π x = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π x = \frac{π}{3}$

Schritt 7.3

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{π}{3}$ durch $π$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{π}{3}$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Schritt 7.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 7.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 7.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\sin (π x + \frac{1}{6} \cdot π)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $π$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| π |}$

Schritt 8.3

$π$ ist ungefähr $3.14159265$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 8.4.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\sin (π x + \frac{1}{6} \cdot π)$ ist $2$ , d. h., Werte werden sich alle $2$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{1}{3} + 2 n$ , für jede ganze Zahl $n$