Trigonometrie Beispiele

$\sin (75) = \frac{x}{20}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x}{20} = \sin (75)$ um.

$\frac{x}{20} = \sin (75)$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $20$ .

$20 \frac{x}{20} = 20 \sin (75)$

Schritt 3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 \frac{x}{20} = 20 \sin (75)$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 20 \sin (75)$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $20 \sin (75)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (75)$ ist $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$x = 20 \sin (30 + 45)$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$x = 20 (\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45))$

Schritt 3.2.1.1.3

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$x = 20 (\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45))$

Schritt 3.2.1.1.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 20 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45))$

Schritt 3.2.1.1.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 20 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45))$

Schritt 3.2.1.1.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 20 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 3.2.1.1.7

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.7.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 20 (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 3.2.1.1.7.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = 20 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 3.2.1.1.7.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 20 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 3.2.1.1.7.1.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = 20 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 3.2.1.1.7.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = 20 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

Schritt 3.2.1.1.7.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = 20 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

Schritt 3.2.1.1.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 20 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = 4 (5) \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Schritt 3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 4 \cdot 5 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Schritt 3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 5 (\sqrt{2} + \sqrt{6})$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6}$

Dezimalform:

$x = 19.31851652 \dots$