Trigonometrie Beispiele

$\sin (6 x) = 1$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$6 x = \arcsin (1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$6 x = \frac{π}{2}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $6 x = \frac{π}{2}$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = \frac{π}{2}$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{π}{2}}{6}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{π}{2}}{6}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{6}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$x = \frac{π}{12}$

Schritt 4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$6 x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$6 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$6 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere $π$ von $π \cdot 2$ .

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Schritt 5.1.4.1

Stelle $π$ und $2$ um.

$6 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 5.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $2 \cdot π$ .

$6 x = \frac{π}{2}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = \frac{π}{2}$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = \frac{π}{2}$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{π}{2}}{6}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{π}{2}}{6}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{6}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{6}$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$x = \frac{π}{12}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\sin (6 x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $6$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 6 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $6$ ist $6$ .

$\frac{2 π}{6}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{6}$

Schritt 6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{3}$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\sin (6 x)$ ist $\frac{π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$