Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) + \cot (x) \cos (x) = \sqrt{3}$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) = \sqrt{3}$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

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Schritt 1.1.2.1

Kombiniere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ und $\cos (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \sqrt{3}$

Schritt 1.1.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \sqrt{3}$

Schritt 1.1.2.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} = \sqrt{3}$

Schritt 1.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} = \sqrt{3}$

Schritt 1.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sqrt{3}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \sqrt{3}$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

Schritt 4

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 4.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

Schritt 4.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

Schritt 4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = \sin (x) \sqrt{3}$

Schritt 6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 = \sin (x) \sqrt{3}$

Schritt 7

Schreibe die Gleichung als $\sin (x) \sqrt{3} = 1$ um.

$\sin (x) \sqrt{3} = 1$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $\sin (x) \sqrt{3} = 1$ durch $\sqrt{3}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $\sin (x) \sqrt{3} = 1$ durch $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 8.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 8.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 8.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 9

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 10

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.1

Berechne $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$x = 0.6154797$

Schritt 11

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

Schritt 12

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.6154797$

Schritt 12.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

Schritt 12.3

Subtrahiere $0.6154797$ von $3.14159265$ .

$x = 2.52611294$

Schritt 13

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 13.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 13.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 13.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 13.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 14

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$