Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 1

Vereinfache $- \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Schritt 5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{4}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 7.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Schritt 7.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 7.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Schritt 7.4.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Schritt 7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$