Trigonometrie Beispiele

$\sin (2 x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x + \frac{π}{3} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{6}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = \frac{π}{6} - \frac{π}{3}$

Schritt 3.2

Um $- \frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 x = \frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{π - π \cdot 2}{6}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x = \frac{π - 2 π}{6}$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $2 π$ von $π$ .

$2 x = \frac{- π}{6}$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x = - \frac{π}{6}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Schritt 5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x + \frac{π}{3} = π - \frac{π}{6}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 6.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 x + \frac{π}{3} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 6.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 6.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 6.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{6}$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = \frac{5 π}{6} - \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.2

Um $- \frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 x = \frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{5 π - π \cdot 2}{6}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x = \frac{5 π - 2 π}{6}$

Schritt 6.2.5.2

Subtrahiere $2 π$ von $5 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{6}$

Schritt 6.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 6.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$2 x = \frac{3 (π)}{6}$

Schritt 6.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$2 x = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x = \frac{π}{2}$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sin (2 x + \frac{π}{3})$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 7.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 8

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{12}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{12} + π$

Schritt 8.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 8.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.1

Bringe $12$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Schritt 8.4.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Schritt 8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{11 π}{12}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\sin (2 x + \frac{π}{3})$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$