Trigonometrie Beispiele

$\ln (1 - x) + \ln (9 - x) = \ln (20)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((1 - x) (9 - x)) = \ln (20)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(1 - x) (9 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (1 (9 - x) - x (9 - x)) = \ln (20)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (1 \cdot 9 + 1 (- x) - x (9 - x)) = \ln (20)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (1 \cdot 9 + 1 (- x) - x \cdot 9 - x (- x)) = \ln (20)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\ln (9 + 1 (- x) - x \cdot 9 - x (- x)) = \ln (20)$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$\ln (9 - x - x \cdot 9 - x (- x)) = \ln (20)$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\ln (9 - x - 9 x - x (- x)) = \ln (20)$

Schritt 1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (9 - x - 9 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) = \ln (20)$

Schritt 1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\ln (9 - x - 9 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) = \ln (20)$

Schritt 1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (9 - x - 9 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) = \ln (20)$

Schritt 1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\ln (9 - x - 9 x + 1 x^{2}) = \ln (20)$

Schritt 1.3.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\ln (9 - x - 9 x + x^{2}) = \ln (20)$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $9 x$ von $- x$ .

$\ln (9 - 10 x + x^{2}) = \ln (20)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$9 - 10 x + x^{2} = 20$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 - 10 x + x^{2} - 20 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $20$ von $9$ .

$- 10 x + x^{2} - 11 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$- 10 u + u^{2} - 11 = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $- 10 u + u^{2} - 11$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 11$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 11, 1$

Schritt 3.3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 11) (u + 1) = 0$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x - 11) (x + 1) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 11 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 3.5

Setze $x - 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 11$ gleich $0$ .

$x - 11 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 11$

Schritt 3.6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 11) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 11, - 1$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (1 - x) + \ln (9 - x) = \ln (20)$ nicht erfüllen.

$x = - 1$