Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{11}{20} x + \frac{π}{12}) = - \frac{1}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{11}{20} x + \frac{π}{12} = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{11}{20}$ und $x$ .

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = - \frac{π}{6}$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $\frac{π}{12}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π}{6} - \frac{π}{12}$

Schritt 4.2

Um $- \frac{π}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{12}$

Schritt 4.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{π}{12}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π \cdot 2}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{11 x}{20} = \frac{- π \cdot 2 - π}{12}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{- 2 π - π}{12}$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $π$ von $- 2 π$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{- 3 π}{12}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $12$ .

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 π$ heraus.

$\frac{11 x}{20} = \frac{3 (- π)}{12}$

Schritt 4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{11 x}{20} = \frac{3 (- π)}{3 (4)}$

Schritt 4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11 x}{20} = \frac{3 (- π)}{3 \cdot 4}$

Schritt 4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{11 x}{20} = \frac{- π}{4}$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π}{4}$

Schritt 5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{20}{11}$ .

$\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20} = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Schritt 6

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache $\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 6.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20} = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Schritt 6.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{11} (11 x) = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Schritt 6.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 6.1.1.2.1

Faktorisiere $11$ aus $11 x$ heraus.

$\frac{1}{11} (11 (x)) = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Schritt 6.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{11} (11 x) = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Schritt 6.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $\frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{4}$ in den Zähler.

$x = \frac{20}{11} \cdot \frac{- π}{4}$

Schritt 6.2.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{4 (5)}{11} \cdot \frac{- π}{4}$

Schritt 6.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4 \cdot 5}{11} \cdot \frac{- π}{4}$

Schritt 6.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5}{11} (- π)$

Schritt 6.2.1.2

Kombiniere $\frac{5}{11}$ und $π$ .

$x = - \frac{5 π}{11}$

Schritt 7

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Schritt 8.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = \frac{7 π}{6}$

Schritt 8.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.3.1.1

Subtrahiere $\frac{π}{12}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π}{6} - \frac{π}{12}$

Schritt 8.3.1.2

Um $\frac{7 π}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{12}$

Schritt 8.3.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{6}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{π}{12}$

Schritt 8.3.1.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π \cdot 2}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 8.3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π \cdot 2 - π}{12}$

Schritt 8.3.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{14 π - π}{12}$

Schritt 8.3.1.5.2

Subtrahiere $π$ von $14 π$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{13 π}{12}$

Schritt 8.3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{20}{11}$ .

$\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20} = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Schritt 8.3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.3.1.1

Vereinfache $\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20}$ .

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Schritt 8.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 8.3.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20} = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Schritt 8.3.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{11} (11 x) = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Schritt 8.3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 8.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $11$ aus $11 x$ heraus.

$\frac{1}{11} (11 (x)) = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Schritt 8.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{11} (11 x) = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Schritt 8.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Schritt 8.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.3.2.1

Vereinfache $\frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$ .

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Schritt 8.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.3.3.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{4 (5)}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Schritt 8.3.3.2.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{4 \cdot 5}{11} \cdot \frac{13 π}{4 \cdot 3}$

Schritt 8.3.3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4 \cdot 5}{11} \cdot \frac{13 π}{4 \cdot 3}$

Schritt 8.3.3.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5}{11} \cdot \frac{13 π}{3}$

Schritt 8.3.3.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{5}{11}$ mit $\frac{13 π}{3}$ .

$x = \frac{5 (13 π)}{11 \cdot 3}$

Schritt 8.3.3.2.1.3

Multipliziere.

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Schritt 8.3.3.2.1.3.1

Mutltipliziere $13$ mit $5$ .

$x = \frac{65 π}{11 \cdot 3}$

Schritt 8.3.3.2.1.3.2

Mutltipliziere $11$ mit $3$ .

$x = \frac{65 π}{33}$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{11}{20} x + \frac{π}{12})$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $\frac{11}{20}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{11}{20} |}$

Schritt 9.3

$\frac{11}{20}$ ist ungefähr $0.55$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{11}{20}}$

Schritt 9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{20}{11}$

Schritt 9.5

Multipliziere $2 π \frac{20}{11}$ .

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Schritt 9.5.1

Kombiniere $\frac{20}{11}$ und $2$ .

$\frac{20 \cdot 2}{11} π$

Schritt 9.5.2

Mutltipliziere $20$ mit $2$ .

$\frac{40}{11} π$

Schritt 9.5.3

Kombiniere $\frac{40}{11}$ und $π$ .

$\frac{40 π}{11}$

Schritt 10

Addiere $\frac{40 π}{11}$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 10.1

Addiere $\frac{40 π}{11}$ zu $- \frac{5 π}{11}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{5 π}{11} + \frac{40 π}{11}$

Schritt 10.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{40 π - 5 π}{11}$

Schritt 10.3

Subtrahiere $5 π$ von $40 π$ .

$\frac{35 π}{11}$

Schritt 10.4

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{35 π}{11}$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{11}{20} x + \frac{π}{12})$ ist $\frac{40 π}{11}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{40 π}{11}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{65 π}{33} + \frac{40 π n}{11}, \frac{35 π}{11} + \frac{40 π n}{11}$ , für jede ganze Zahl $n$