Trigonometrie Beispiele

$\sec (4 x) - 2 = 0$

Schritt 1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sec (4 x) = 2$

Schritt 2

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$4 x = arcsec (2)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $arcsec (2)$ ist $\frac{π}{3}$ .

$4 x = \frac{π}{3}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{3}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{3}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 4}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x = \frac{π}{12}$

Schritt 5

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$4 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 6.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 6.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$4 x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 6.1.5

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$4 x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{5 π}{3}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{5 π}{3}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 6.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 6.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{3}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sec (4 x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\sec (4 x)$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$