Trigonometrie Beispiele

x 구하기 tan(x)+sec(x)=2cos(x)
Schritt 1
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.1.1
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 1.1.2
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 2
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit .
Schritt 3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 7
Multipliziere .
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Schritt 7.1
Potenziere mit .
Schritt 7.2
Potenziere mit .
Schritt 7.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 7.4
Addiere und .
Schritt 8
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 9
Ersetze die durch basierend auf der -Identitätsgleichung.
Schritt 10
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 10.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 10.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 11
Subtrahiere von .
Schritt 12
Stelle das Polynom um.
Schritt 13
Ersetze durch .
Schritt 14
Faktorisiere durch Gruppieren.
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Schritt 14.1
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
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Schritt 14.1.1
Multipliziere mit .
Schritt 14.1.2
Schreibe um als plus
Schritt 14.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 14.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
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Schritt 14.2.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 14.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 14.3
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 15
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 16
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 16.1
Setze gleich .
Schritt 16.2
Löse nach auf.
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Schritt 16.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 16.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 16.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 16.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 16.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 16.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 16.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 17
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 17.1
Setze gleich .
Schritt 17.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 18
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 19
Ersetze durch .
Schritt 20
Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach aufzulösen.
Schritt 21
Löse in nach auf.
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Schritt 21.1
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 21.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 21.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 21.3
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 21.4
Vereinfache .
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Schritt 21.4.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 21.4.2
Kombiniere Brüche.
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Schritt 21.4.2.1
Kombiniere und .
Schritt 21.4.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 21.4.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 21.4.3.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 21.4.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 21.5
Ermittele die Periode von .
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Schritt 21.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 21.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 21.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 21.5.4
Dividiere durch .
Schritt 21.6
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 22
Löse in nach auf.
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Schritt 22.1
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 22.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 22.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 22.3
Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.
Schritt 22.4
Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.
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Schritt 22.4.1
Subtrahiere von .
Schritt 22.4.2
Der resultierende Winkel von ist positiv, kleiner als und gleich .
Schritt 22.5
Ermittele die Periode von .
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Schritt 22.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 22.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 22.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 22.5.4
Dividiere durch .
Schritt 22.6
Addiere zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.
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Schritt 22.6.1
Addiere zu , um den positiven Winkel zu bestimmen.
Schritt 22.6.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 22.6.3
Kombiniere Brüche.
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Schritt 22.6.3.1
Kombiniere und .
Schritt 22.6.3.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 22.6.4
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 22.6.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 22.6.4.2
Subtrahiere von .
Schritt 22.6.5
Liste die neuen Winkel auf.
Schritt 22.7
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 23
Liste alle Lösungen auf.
, für jede ganze Zahl
Schritt 24
Fasse die Ergebnisse zusammen.
, für jede ganze Zahl