Trigonometrie Beispiele

$\tan (3 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$3 x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$3 x = - \frac{π}{6}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - \frac{π}{6}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - \frac{π}{6}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 6}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$x = - \frac{π}{18}$

Schritt 4

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$3 x = - \frac{π}{6} - π$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{6} - π$ .

$3 x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Schritt 5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{6}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{6} - π$ .

$3 x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{5 π}{6}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{5 π}{6}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{6}}{3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{6}}{3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{6}}{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{6}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 3}$

Schritt 5.3.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$x = \frac{5 π}{18}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\tan (3 x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 3 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{π}{3}$

Schritt 7

Addiere $\frac{π}{3}$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 7.1

Addiere $\frac{π}{3}$ zu $- \frac{π}{18}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{18} + \frac{π}{3}$

Schritt 7.2

Um $\frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{3} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{18}$

Schritt 7.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $18$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{π}{18}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{π \cdot 6}{18} - \frac{π}{18}$

Schritt 7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 6 - π}{18}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{18}$

Schritt 7.5.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{5 π}{18}$

Schritt 7.6

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{5 π}{18}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\tan (3 x)$ ist $\frac{π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{18} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{18} + \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{5 π}{18} + \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$