Trigonometrie Beispiele

$\tan (2 x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $\cot (x) - \tan (x)$ .

$\tan (2 x) (\cot (x) - \tan (x)) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)} (\cot (x) - \tan (x))$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $\tan (2 x) (\cot (x) - \tan (x))$ .

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Schritt 2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (2 x) \cot (x) + \tan (2 x) (- \tan (x)) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)} (\cot (x) - \tan (x))$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\tan (2 x) \cot (x) - \tan (2 x) \tan (x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)} (\cot (x) - \tan (x))$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cot (x) - \tan (x)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (2 x) \cot (x) - \tan (2 x) \tan (x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)} (\cot (x) - \tan (x))$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (2 x) \cot (x) - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Schreibe $\tan (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cot (x) - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Schritt 3.1.1.2

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Schritt 3.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (2 x) \cos (x)}{\cos (2 x) \sin (x)} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Schritt 3.1.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1.4.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x) \cos (x)}{\cos (2 x) \sin (x)} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Schritt 3.1.1.4.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.1.4.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\cos (2 x) \sin (x)} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Schritt 3.1.1.4.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\cos (2 x) \sin (x)} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Schritt 3.1.1.4.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (2 x) \sin (x)} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Schritt 3.1.1.4.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos (2 x) \sin (x)} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Schritt 3.1.1.5

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $2 \cos^{2} (x) - 1$ zu transformieren.

$\frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{(2 \cos^{2} (x) - 1) \sin (x)} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Schritt 3.1.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{(2 \cos^{2} (x) - 1) \sin (x)} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Schritt 3.1.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2 \cos^{2} (x) - 1} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Schritt 3.1.1.7

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Schritt 3.1.1.8

Schreibe $\tan (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \tan (x) = 2$

Schritt 3.1.1.9

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 2$

Schritt 3.1.1.10

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{\sin (x) \sin (2 x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = 2$

Schritt 3.1.1.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1.11.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = 2$

Schritt 3.1.1.11.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.1.11.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = 2$

Schritt 3.1.1.11.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = 2$

Schritt 3.1.1.11.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = 2$

Schritt 3.1.1.11.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = 2$

Schritt 3.1.1.12

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $2 \cos^{2} (x) - 1$ zu transformieren.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)} = 2$

Schritt 3.1.1.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.1.1.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)} = 2$

Schritt 3.1.1.13.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{2} (x)}{2 \cos^{2} (x) - 1} = 2$

Schritt 3.1.1.14

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (2 x)} = 2$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\cos (2 x)$ .

$\cos (2 x) (\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (2 x)}) = \cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (2 x) \frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} + \cos (2 x) (- \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (2 x)}) = \cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (2 x) \frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} + \cos (2 x) (- \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (2 x)}) = \cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \cos^{2} (x) + \cos (2 x) (- \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (2 x)}) = \cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 3.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cos^{2} (x) - \cos (2 x) \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (2 x)} = \cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 3.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 3.6.1.1

Faktorisiere $\cos (2 x)$ aus $- \cos (2 x)$ heraus.

$2 \cos^{2} (x) + \cos (2 x) \cdot - 1 \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (2 x)} = \cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 3.6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cos^{2} (x) + \cos (2 x) \cdot - 1 \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (2 x)} = \cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 3.6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cos^{2} (x) - (2 \sin^{2} (x)) = \cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) = \cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) = 2 \cos (2 x)$

Schritt 3.8

Subtrahiere $2 \cos (2 x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (2 x) = 0$

Schritt 3.9

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 3.10

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.10.1

Vereinfache $2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$ .

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Schritt 3.10.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.10.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 3.10.1.1.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 - 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 3.10.1.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 3.10.1.1.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.10.1.1.2.1

Bewege $- 2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 3.10.1.1.2.2

Stelle $2 \cos^{2} (x)$ und $- 2$ um.

$- 2 + 2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 3.10.1.1.2.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$- 2 (1) + 2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 3.10.1.1.2.4

Faktorisiere $- 2$ aus $2 \cos^{2} (x)$ heraus.

$- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 3.10.1.1.2.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$- 2 (1 - \cos^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 3.10.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 3.10.1.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.10.1.3.1

Subtrahiere $2 \sin^{2} (x)$ von $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 3.10.1.3.2

Addiere $- 4 \sin^{2} (x)$ und $4 \sin^{2} (x)$ .

$0 = 0$

Schritt 3.11

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$