Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) \cos (x) = - \frac{1}{4}$

Schritt 1

Multipliziere jeden Term in $\sin (x) \cos (x) = - \frac{1}{4}$ mit $2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.1

Multipliziere jeden Term in $\sin (x) \cos (x) = - \frac{1}{4}$ mit $2$ .

$\sin (x) \cos (x) \cdot 2 = - \frac{1}{4} \cdot 2$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Stelle $\sin (x) \cos (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) = - \frac{1}{4} \cdot 2$

Schritt 1.2.2

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{4} \cdot 2$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{4} \cdot 2$

Schritt 1.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2 (2)} \cdot 2$

Schritt 1.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Schritt 1.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Schritt 5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Schritt 6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{7 π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{7 π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.3.2

Multipliziere $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Schritt 6.3.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 7.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 8

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{12}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{12} + π$

Schritt 8.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 8.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.1

Bringe $12$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Schritt 8.4.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Schritt 8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{11 π}{12}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$