Trigonometrie Beispiele

$\cos (2 x) - \cos (6 x) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $2 \cos^{2} (x) - 1$ zu transformieren.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (6 x) = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (2 (3 x)) = 0$

Schritt 1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1

Benutze die Dreifachwinkelfunktion, um $\cos (3 x)$ in $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ umzuformen.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 {(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))}^{2} - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.2

Schreibe ${(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))}^{2}$ als $(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ um.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 ((4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.3

Multipliziere $(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 \cos^{3} (x) \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.2

Multipliziere $\cos^{3} (x)$ mit $\cos^{3} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.4.1.2.1

Bewege $\cos^{3} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 (\cos^{3} (x) \cos^{3} (x))) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 {\cos (x)}^{3 + 3}) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.2.3

Addiere $3$ und $3$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 \cos^{6} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.4

Multipliziere $\cos^{3} (x)$ mit $\cos (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.4.1.4.1

Bewege $\cos (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 (\cos (x) \cos^{3} (x)) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.4.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $\cos^{3} (x)$ .

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Schritt 1.1.3.4.1.4.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 (\cos (x) \cos^{3} (x)) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 {\cos (x)}^{1 + 3} \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.4.3

Addiere $1$ und $3$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{4} (x) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.6

Multipliziere $\cos (x)$ mit $\cos^{3} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.4.1.6.1

Bewege $\cos^{3} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 (\cos^{3} (x) \cos (x)) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.6.2

Mutltipliziere $\cos^{3} (x)$ mit $\cos (x)$ .

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Schritt 1.1.3.4.1.6.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 (\cos^{3} (x) \cos (x)) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 {\cos (x)}^{3 + 1} \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.6.3

Addiere $3$ und $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos^{4} (x) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.8

Multipliziere $- 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))$ .

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Schritt 1.1.3.4.1.8.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 \cos (x) \cos (x)) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.8.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 (\cos (x) \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.8.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 (\cos (x) \cos (x))) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 {\cos (x)}^{1 + 1}) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.4.2

Subtrahiere $12 \cos^{4} (x)$ von $- 12 \cos^{4} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 24 \cos^{4} (x) + 9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x)) + 2 (- 24 \cos^{4} (x)) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.6.1

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x) + 2 (- 24 \cos^{4} (x)) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.6.2

Mutltipliziere $- 24$ mit $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3.6.3

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Schritt 1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x)) - (- 48 \cos^{4} (x)) - (18 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Mutltipliziere $32$ mit $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) - (- 48 \cos^{4} (x)) - (18 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

Schritt 1.1.5.2

Mutltipliziere $- 48$ mit $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - (18 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

Schritt 1.1.5.3

Mutltipliziere $18$ mit $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Schritt 1.1.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) + 1$ .

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Schritt 1.2.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$2 \cos^{2} (x) + 0 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $2 \cos^{2} (x)$ und $0$ .

$2 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $18 \cos^{2} (x)$ von $2 \cos^{2} (x)$ .

$- 16 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $- 16 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x)$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $16 \cos^{2} (x)$ aus $- 16 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x)$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $16 \cos^{2} (x)$ aus $- 16 \cos^{2} (x)$ heraus.

$16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $16 \cos^{2} (x)$ aus $- 32 \cos^{6} (x)$ heraus.

$16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 + 16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x)) + 48 \cos^{4} (x) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $16 \cos^{2} (x)$ aus $48 \cos^{4} (x)$ heraus.

$16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 + 16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x)) + 16 \cos^{2} (x) (3 \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $16 \cos^{2} (x)$ aus $16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 + 16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x))$ heraus.

$16 \cos^{2} (x) (- 1 - 2 \cos^{4} (x)) + 16 \cos^{2} (x) (3 \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $16 \cos^{2} (x)$ aus $16 \cos^{2} (x) (- 1 - 2 \cos^{4} (x)) + 16 \cos^{2} (x) (3 \cos^{2} (x))$ heraus.

$16 \cos^{2} (x) (- 1 - 2 \cos^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1

Stelle die Terme um.

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Schritt 2.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 2 \cdot - 1 = 2$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \cos^{2} (x)$ heraus.

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $3$ um als $1$ plus $2$

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + (1 + 2) \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + 1 \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.4

Mutltipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $1$ .

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Schritt 2.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Schritt 2.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$16 \cos^{2} (x) (\cos^{2} (x) (- 2 \cos^{2} (x) + 1) - (- 2 \cos^{2} (x) + 1)) = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 2 \cos^{2} (x) + 1$ .

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

Schritt 2.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere.

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Schritt 2.4.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (x)$ und $b = 1$ .

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1))) = 0$

Schritt 2.4.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Schritt 2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 4

Setze $\cos^{2} (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\cos^{2} (x)$ gleich $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\cos^{2} (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x) = \pm 0$

Schritt 4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 4.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.6

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.2.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 4.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 4.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 4.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $- 2 \cos^{2} (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $- 2 \cos^{2} (x) + 1$ gleich $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $- 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos^{2} (x) = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos^{2} (x) = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.2.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.2.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.4.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.4.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 5.2.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.2.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.2.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.2.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.2.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.2.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.2.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.2.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 5.2.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.7

Löse in $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.7.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.2.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.7.2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.7.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.7.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 5.2.7.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.7.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.7.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.7.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 5.2.7.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.7.4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Schritt 5.2.7.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 5.2.7.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.2.7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.7.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2.8

Löse in $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.8.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.2.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.8.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.2.8.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.2.8.4

Vereinfache $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 5.2.8.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.2.8.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.8.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.2.8.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Schritt 5.2.8.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.8.4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Schritt 5.2.8.4.3.2

Subtrahiere $3 π$ von $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 5.2.8.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.2.8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.8.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.8.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2.9

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2.10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Setze $\cos (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\cos (x) + 1$ gleich $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $\cos (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = - 1$

Schritt 6.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- 1)$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 6.2.4

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - π$

Schritt 6.2.5

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 6.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $\cos (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = 1$

Schritt 7.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7.2.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 7.2.5

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 7.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 7.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 9.1

Führe $\frac{π}{2} + 2 π n$ und $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ zu $\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9.2

Führe $π + 2 π n$ und $2 π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9.3

Führe $\frac{π}{2} + π n$ und $π n$ zu $\frac{π n}{2}$ zusammen.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9.4

Führe $\frac{π n}{2}$ und $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ zu $\frac{π n}{4}$ zusammen.

$x = \frac{π n}{4}, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9.5

Führe $\frac{π n}{4}$ und $2 π + 2 π n$ zu $\frac{π n}{4}$ zusammen.

$x = \frac{π n}{4}$ , für jede ganze Zahl $n$