Trigonometrie Beispiele

$\cos (2 x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x + \frac{π}{4} = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$2 x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Subtrahiere $\frac{π}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = \frac{π}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{π - π}{4}$

Schritt 3.3

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$2 x = \frac{0}{4}$

Schritt 3.4

Dividiere $0$ durch $4$ .

$2 x = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 x + \frac{π}{4} = 2 π - \frac{π}{4}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 x + \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.1.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$2 x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$2 x + \frac{π}{4} = \frac{8 π - π}{4}$

Schritt 6.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$2 x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4}$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Subtrahiere $\frac{π}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = \frac{7 π}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{7 π - π}{4}$

Schritt 6.2.3

Subtrahiere $π$ von $7 π$ .

$2 x = \frac{6 π}{4}$

Schritt 6.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6 π$ heraus.

$2 x = \frac{2 (3 π)}{4}$

Schritt 6.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 x = \frac{2 (3 π)}{2 (2)}$

Schritt 6.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x = \frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\cos (2 x + \frac{π}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 7.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\cos (2 x + \frac{π}{4})$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$