Trigonometrie Beispiele

$8 \sin^{2} (x) + 16 \sin (x) + 8 = 0$

Schritt 1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$8 {(u)}^{2} + 16 (u) + 8 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 u^{2} + 16 u + 8$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 u^{2}$ heraus.

$8 u^{2} + 16 u + 8 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $8$ aus $16 u$ heraus.

$8 u^{2} + 8 (2 u) + 8 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$8 u^{2} + 8 (2 u) + 8 (1) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $8$ aus $8 u^{2} + 8 (2 u)$ heraus.

$8 (u^{2} + 2 u) + 8 (1) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $8$ aus $8 (u^{2} + 2 u) + 8 (1)$ heraus.

$8 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$8 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$8 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$8 {(u + 1)}^{2} = 0$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $8 {(u + 1)}^{2} = 0$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $8 {(u + 1)}^{2} = 0$ durch $8$ .

$\frac{8 {(u + 1)}^{2}}{8} = \frac{0}{8}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 {(u + 1)}^{2}}{8} = \frac{0}{8}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere ${(u + 1)}^{2}$ durch $1$ .

${(u + 1)}^{2} = \frac{0}{8}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $0$ durch $8$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Schritt 4

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 6

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - 1$

Schritt 7

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 8

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 9

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 10.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 10.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 11

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 11.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 11.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 11.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 12

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 12.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 12.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 12.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 12.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 12.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 12.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 12.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 13

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$