Gib eine Aufgabe ein ...
Trigonometrie Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Vereinfache .
Schritt 1.1.1
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 1.1.2
Kombiniere und .
Schritt 2
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit .
Schritt 3
Schritt 3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 5
Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.
Schritt 6
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 7
Schritt 7.1
Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.
Schritt 7.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 8
Schritt 8.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 8.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 8.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 9
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 10
Schritt 10.1
Setze gleich .
Schritt 10.2
Löse nach auf.
Schritt 10.2.1
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 10.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 10.2.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 10.2.3
Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 10.2.4
Vereinfache .
Schritt 10.2.4.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 10.2.4.2
Kombiniere Brüche.
Schritt 10.2.4.2.1
Kombiniere und .
Schritt 10.2.4.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 10.2.4.3
Vereinfache den Zähler.
Schritt 10.2.4.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.2.4.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 10.2.5
Ermittele die Periode von .
Schritt 10.2.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 10.2.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 10.2.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 10.2.5.4
Dividiere durch .
Schritt 10.2.6
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 11
Schritt 11.1
Setze gleich .
Schritt 11.2
Löse nach auf.
Schritt 11.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 11.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 11.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 11.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 11.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 11.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 11.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 11.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 11.2.2.3.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 11.2.3
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 11.2.4
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 11.2.4.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 11.2.5
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 11.2.6
Vereinfache .
Schritt 11.2.6.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 11.2.6.2
Kombiniere Brüche.
Schritt 11.2.6.2.1
Kombiniere und .
Schritt 11.2.6.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 11.2.6.3
Vereinfache den Zähler.
Schritt 11.2.6.3.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 11.2.6.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 11.2.7
Ermittele die Periode von .
Schritt 11.2.7.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 11.2.7.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 11.2.7.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 11.2.7.4
Dividiere durch .
Schritt 11.2.8
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 12
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
, für jede ganze Zahl
Schritt 13
Führe und zu zusammen.
, für jede ganze Zahl