Trigonometrie Beispiele

$\cos (3 x) = \cos (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $\cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (3 x) - \cos (x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze die Dreifachwinkelfunktion, um $\cos (3 x)$ in $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ umzuformen.

$4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x) - \cos (x) = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $\cos (x)$ von $- 3 \cos (x)$ .

$4 \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $4 \cos^{3} (x) - 4 \cos (x)$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $4 \cos (x)$ aus $4 \cos^{3} (x) - 4 \cos (x)$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $4 \cos (x)$ aus $4 \cos^{3} (x)$ heraus.

$4 \cos (x) \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $4 \cos (x)$ aus $- 4 \cos (x)$ heraus.

$4 \cos (x) \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $4 \cos (x)$ aus $4 \cos (x) \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) \cdot - 1$ heraus.

$4 \cos (x) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$4 \cos (x) (\cos^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (x)$ und $b = 1$ .

$4 \cos (x) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Schritt 3.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 \cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 5

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 5.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 5.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Setze $\cos (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\cos (x) + 1$ gleich $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $\cos (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = - 1$

Schritt 6.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- 1)$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 6.2.4

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - π$

Schritt 6.2.5

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 6.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $\cos (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = 1$

Schritt 7.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7.2.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 7.2.5

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 7.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 7.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 \cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$