Trigonometrie Beispiele

$\tan^{2} (x) \sin (x) = 3 \sin (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $3 \sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) - 3 \sin (x) = 0$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \sin (x) - 3 \sin (x) = 0$

Schritt 2.1.3

Multipliziere $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$ .

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Schritt 2.1.3.1

Kombiniere $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Multipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $\sin (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.2.1

Mutltipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $\sin (x)$ .

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Schritt 2.1.3.2.1.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x) = 0$

Schritt 2.1.3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{2 + 1}}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x) = 0$

Schritt 2.1.3.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x) = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus $\sin^{3} (x)$ heraus.

$\frac{\sin^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x) = 0$

Schritt 2.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cdot 1} - 3 \sin (x) = 0$

Schritt 2.2.3

Separiere Brüche.

$\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x) = 0$

Schritt 2.2.4

Wandle von $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ nach $\tan^{2} (x)$ um.

$\frac{\sin (x)}{1} \cdot \tan^{2} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Schritt 2.2.5

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) \tan^{2} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \tan^{2} (x) - 3 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- 3 \sin (x)$ heraus.

$\sin (x) \tan^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 3 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \tan^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 3$ heraus.

$\sin (x) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

Schritt 5

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 5.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 5.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Setze $\tan^{2} (x) - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\tan^{2} (x) - 3$ gleich $0$ .

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

Schritt 6.2

Löse $\tan^{2} (x) - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan^{2} (x) = 3$

Schritt 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

Schritt 6.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Schritt 6.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 6.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 6.2.4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 6.2.5

Löse in $\tan (x) = \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.5.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Schritt 6.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.5.2.1

Der genau Wert von $\arctan (\sqrt{3})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.5.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.5.4

Vereinfache $π + \frac{π}{3}$ .

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Schritt 6.2.5.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.5.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.5.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.5.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Schritt 6.2.5.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.4.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Schritt 6.2.5.4.3.2

Addiere $3 π$ und $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 6.2.5.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 6.2.5.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 6.2.5.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.5.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 6.2.5.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 6.2.5.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6.2.6

Löse in $\tan (x) = - \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.6.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Schritt 6.2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.6.2.1

Der genau Wert von $\arctan (- \sqrt{3})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.6.3

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Schritt 6.2.6.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.2.6.4.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Schritt 6.2.6.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{2 π}{3}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 6.2.6.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 6.2.6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 6.2.6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 6.2.6.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 6.2.6.6

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 6.2.6.6.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{3} + π$

Schritt 6.2.6.6.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.6.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.6.6.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.6.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 6.2.6.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.6.6.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 6.2.6.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 6.2.6.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 6.2.6.7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6.2.7

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6.2.8

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 6.2.8.1

Führe $\frac{π}{3} + π n$ und $\frac{4 π}{3} + π n$ zu $\frac{π}{3} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6.2.8.2

Führe $\frac{2 π}{3} + π n$ und $\frac{2 π}{3} + π n$ zu $\frac{2 π}{3} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\sin (x) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 8.1

Führe $2 π n$ und $π + 2 π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8.2

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$