Trigonometrie Beispiele

x 구하기 2cos(x)+tan(x)=sec(x)
Schritt 1
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.1
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 2.1
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 3
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit .
Schritt 4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 6
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 6.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 7
Multipliziere .
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Schritt 7.1
Potenziere mit .
Schritt 7.2
Potenziere mit .
Schritt 7.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 7.4
Addiere und .
Schritt 8
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 8.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 8.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 9
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 10
Vereinfache .
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Schritt 10.1
Bewege .
Schritt 10.2
Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.
Schritt 11
Wende die Doppelwinkelfunktion an, um nach zu transformieren.
Schritt 12
Faktorisiere durch Gruppieren.
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Schritt 12.1
Stelle die Terme um.
Schritt 12.2
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
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Schritt 12.2.1
Multipliziere mit .
Schritt 12.2.2
Schreibe um als plus
Schritt 12.2.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 12.3
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
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Schritt 12.3.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 12.3.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 12.4
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 13
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 14
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 14.1
Setze gleich .
Schritt 14.2
Löse nach auf.
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Schritt 14.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 14.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 14.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 14.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 14.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 14.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 14.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 14.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 14.2.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 14.2.3
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 14.2.4
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 14.2.4.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 14.2.5
Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.
Schritt 14.2.6
Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.
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Schritt 14.2.6.1
Subtrahiere von .
Schritt 14.2.6.2
Der resultierende Winkel von ist positiv, kleiner als und gleich .
Schritt 14.2.7
Ermittele die Periode von .
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Schritt 14.2.7.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 14.2.7.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 14.2.7.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 14.2.7.4
Dividiere durch .
Schritt 14.2.8
Addiere zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.
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Schritt 14.2.8.1
Addiere zu , um den positiven Winkel zu bestimmen.
Schritt 14.2.8.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 14.2.8.3
Kombiniere Brüche.
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Schritt 14.2.8.3.1
Kombiniere und .
Schritt 14.2.8.3.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 14.2.8.4
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 14.2.8.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.2.8.4.2
Subtrahiere von .
Schritt 14.2.8.5
Liste die neuen Winkel auf.
Schritt 14.2.9
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 15
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 15.1
Setze gleich .
Schritt 15.2
Löse nach auf.
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Schritt 15.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 15.2.2
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 15.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 15.2.3.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 15.2.4
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 15.2.5
Vereinfache .
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Schritt 15.2.5.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 15.2.5.2
Kombiniere Brüche.
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Schritt 15.2.5.2.1
Kombiniere und .
Schritt 15.2.5.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 15.2.5.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 15.2.5.3.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 15.2.5.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 15.2.6
Ermittele die Periode von .
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Schritt 15.2.6.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 15.2.6.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 15.2.6.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 15.2.6.4
Dividiere durch .
Schritt 15.2.7
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 16
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
, für jede ganze Zahl
Schritt 17
Fasse die Ergebnisse zusammen.
, für jede ganze Zahl